De la integración de una sola variable a la integración multivariable: ¿Qué pasó con el "problema" del "área firmada/neta"?

Recuerdo que, al aprender la integración de una sola variable, aprendimos que, si una función F ( X ) es negativa, entonces la integral definida produce el negativo del área del rectángulo. Este hecho hizo que, a menos que la función y = F ( X ) siempre está por encima de la X -eje, el valor calculado por la integral definida es el área con signo o neta , en lugar del área total . Esto se debe a que la integral definida calculará el área entre y = F ( X ) y el X -eje, que será negativo para las partes entre y = F ( X ) y el X -eje cuando y = F ( X ) está debajo de la X -eje, y positivo para las partes entre y = F ( X ) y el X -eje cuando y = F ( X ) está por encima de la X -eje, provocando alguna cancelación entre; así, tenemos el área firmada o neta .

El área siempre es una cantidad no negativa. Las aproximaciones de la suma de Riemann contienen términos como F ( C k ) Δ X k que dan el área de un rectángulo cuando F ( C k ) es positivo. Cuando F ( C k ) es negativo, entonces el producto F ( C k ) Δ X k es el negativo del área del rectángulo. Cuando sumamos dichos términos para una función negativa, obtenemos el negativo del área entre la curva y el eje x. Si luego tomamos el valor absoluto, obtenemos el área positiva correcta.

(Hass 285)

Hass, Joel R., Christopher Heil, Maurice Weir. Cálculo de Thomas, 14ª edición. Pearson.

Si quisiéramos encontrar el área total , entonces tendríamos que descomponer la función y = F ( X ) en función de si estaba por debajo o por encima del X -eje, y luego hacer muchas integrales de una sola variable para cada región fragmentada, tomando el valor absoluto de aquellas integrales definidas que están debajo del X -eje:

Para calcular el área de la región acotada por la gráfica de una función y = F ( X ) y el eje x cuando la función toma valores tanto positivos como negativos, debemos tener cuidado de dividir el intervalo [ a , b ] en subintervalos en los que la función no cambia de signo. De lo contrario, podríamos obtener una cancelación entre las áreas con signo positivo y negativo, lo que generaría un total incorrecto. El área total correcta se obtiene sumando el valor absoluto de la integral definida sobre cada subintervalo donde F ( X ) no cambia de signo. Se entenderá por “superficie” esta superficie total.

(Hass 285)

Hass, Joel R., Christopher Heil, Maurice Weir. Cálculo de Thomas, 14ª edición. Pearson.

Luego pasé a aprender integrales multivariables (dobles, triples) y conceptos relacionados, como diferentes parametrizaciones/transformaciones (coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas), el teorema de Green, el teorema de Stoke, el teorema de la Divergencia, etc.

Al aprender estos conceptos más avanzados, nunca más se volvió a mencionar este problema de tener valores de función negativos. Sin embargo, esto me ha estado molestando desde hace un tiempo, ya que, según tengo entendido, esto seguiría siendo un problema en el caso multivariable; pero, a diferencia del caso de una sola variable, no ha habido discusión al respecto o "cómo manejarlo", como ocurrió con el área firmada/neta.

Apreciaría enormemente si la gente pudiera tomarse el tiempo para explicar cómo el "problema" mencionado anteriormente de los valores negativos de la función en el caso de la integración de una sola variable entra en juego cuando tratamos con estos conceptos más avanzados y la integración multivariable.

Respuestas (1)

La razón es principalmente de enfoque: puede usar integrales para calcular áreas y volúmenes, y tiene la misma situación que ∫ F produce un número que incluye el área debajo del eje como negativa (como debe ser, ya que la integral es lineal: ∫ ( − F ) = − ∫ F ). Pero:

  1. La mayoría de las veces, en dimensiones más altas, las cosas están configuradas de modo que si está calculando un volumen, es una forma relativamente simple donde las áreas se calculan mediante alguna técnica de corte para convertirlo en una integral iterada. A diferencia del caso unidimensional, el gráfico que está "en la parte superior" normalmente no cambia en estos ejemplos (y si lo hiciera, tendría que aplicar el mismo procedimiento para dividir en casos); es esta cuestión de "encima" la que da el área "firmada" en primer lugar, y por qué ∫ | F | da el área real entre y = F ( X ) y y = 0 : obliga F para ser siempre la función principal, por así decirlo.

  2. Incluso con más frecuencia, las integrales no se usan para calcular volúmenes, sino otras cantidades como promedios, fuerza, trabajo y flujo, todos los cuales quieren usar la integración como una operación lineal en lugar de solo un dispositivo de medición de área. La linealidad se considera casi universalmente como más esencial para la definición que la medición del área (uno puede encontrar matemáticos delirando sobre cuánto les encanta que la expectativa sea lineal, que es un ejemplo de este fenómeno), por lo que ∫ F es mucho más importante matemáticamente que ∫ | F | . Por supuesto, ∫ | F | todavía mide el área (sin signo) bajo una curva, pero este es un pequeño rincón del universo de integración. A medida que avanza en áreas más avanzadas, simplemente no calcula volúmenes con tanta frecuencia como usa las otras aplicaciones de la integral.

Por supuesto, en dimensiones más altas también tienes el problema de la orientación en el diferencial: si colocas tus variables de integración en un orden diferente al cambiar las variables, el signo del determinante jacobiano debe corregirse (es posible que te hayan dicho que simplemente tomes el valor absoluto: mientras esto funciona, se pierde por qué ocurre el problema en primer lugar). Tal disparidad se explica mejor usando formas diferenciales, que se construyen esencialmente para ser "cosas que se pueden integrar", pero tienen esta divertida propiedad de orientación integrada en su definición (también permite que uno deje de preocuparse por encontrar normales que apuntan hacia afuera todo el tiempo) . El análogo unidimensional de esto es la convención de que ∫ a b F = − ∫ b a F .

Gracias por la aclaración. Cuando dice que las formas diferenciales nos permiten dejar de preocuparnos por encontrar normales que apuntan hacia afuera todo el tiempo, ¿está aludiendo a cosas como ∮ C F ⋅ norte   d s = ∮ C METRO   d y − norte   d X para el flujo hacia el exterior?
Sí, el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes son ejemplos de un resultado general para formas diferenciales, que de manera confusa a menudo también se denomina teorema de Stokes (observe la falta total de vectores normales en ∫ ∂ Ω ω = ∫ Ω d ω ).
Le agradezco que se tome el tiempo para aclarar esto.
Muy interesante, aunque no entendí todo. No tenía idea de que había una razón para ∫ b a F = − ∫ a b F , Siempre pense ∫ b a F era una "notación abreviada" para el negativo de ∫ a b F . ¿Dónde puedo leer más sobre esto? ¿Qué debo buscar?
El "cálculo exterior" o la "integración con formas diferenciales" son puntos de partida razonables; Solía ​​ser que las introducciones comprensibles eran bastante escasas, pero estoy seguro de que eso ha cambiado ahora. La otra forma de verlo es a través de cadenas, en.wikipedia.org/wiki/… , aunque es aún más difícil encontrar una introducción que no esté escrita esperando que ya conozcas algo de topología algebraica.
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