¿Cómo sería una configuración de masa similar a una bobina de Helmholz? (produce un campo de gravedad localmente uniforme)

La carga que se mueve en un círculo produce un dipolo magnético, y es la proximidad de los dos dipolos magnéticos lo que produce un campo magnético aproximadamente constante entre las dos bobinas.

Sin embargo, un anillo de materia no produce un dipolo gravitacional, como era de esperar, ya que no existe una masa negativa, por lo que el dipolo gravitacional análogo no existe. De hecho, en el punto exactamente entre los dos anillos de materia, el campo gravitatorio sería cero, ya que las atracciones gravitatorias de los dos anillos serían iguales y opuestas.

La analogía electromagnética sería considerar el campo eléctrico creado por dos anillos cargados. La geometría de este campo sería la misma que la geometría del campo gravitacional creado por dos anillos masivos.

Escala de campos como$M/r^2$, por lo que aumentar las dimensiones de una estructura en$\alpha$y disminuyendo su densidad de masa en$\alpha$deja el campo sin cambios. Entonces, el campo en el centro de un cilindro cuyo diámetro aumenta linealmente a lo largo de su longitud (inicialmente sugerí exponencial incorrectamente) y cuya densidad de masa disminuye inversamente con la longitud tendrá el mismo campo constante distinto de cero en todas partes a lo largo de su longitud.
Un cambio lineal con la longitud significa, por supuesto, que es un cono simple. Podemos expandir el ángulo en el vértice hasta que el cono se convierta en una esfera. Entonces, si toma un planeta con un agujero en el medio que tiene una densidad de masa inversamente proporcional al radio, entonces el campo será constante y de signo inverso en el centro. De hecho, el agujero no tiene que pasar por el medio. El campo en todas partes tiene una magnitud constante, solo cambia su ángulo. De hecho, leí en alguna parte que la densidad de la tierra tiene una ligera tendencia hacia una dependencia de 1/r y que el campo en las primeras 1000 millas no cambia mucho, pero no tengo una referencia.
Si hablamos de una capa cónica, entonces la densidad de masa del área debe ser constante para que se aplique la escala de campo constante. Entonces, la próxima vez que coma un cono de helado, tenga en cuenta que su campo gravitatorio a lo largo de su eje es aproximadamente constante.
Pensando en una estructura simple más análoga a la configuración de Helmholz, el campo a lo largo del eje de un anillo de radio R es como$GMx/(R^2+x^2)^{3/2}$. Si colocamos la masa puntual,$m$, sobre el eje a distancia,$d$, del anillo, el campo total es$GMx/(R^2+x^2)^{3/2} + Gm/(x-d)^2$. Ahora podemos elegir$m$y$d$y una posición$p$para poner a cero las derivadas primera, segunda y tercera. Tuve que resolver esto numéricamente. La respuesta resulta ser m/M = 1,75620, d/R = -1,41456, p/R = 0,202622. El campo resultante es 0.862275*GM/R^2