¿Por qué existen los límites estelares?

Las estrellas no tienen un límite o superficie firme en el sentido de que su pregunta parece sugerir que está pensando. El sol parece una esfera agradable y discreta debido a los efectos ópticos. Lo que llamamos la superficie del sol es la fotosfera .

Llamamos a esto la superficie, porque es lo que efectivamente vemos cuando miramos al sol. Sin embargo, esta superficie es solo el punto donde la profundidad óptica se aproxima a la unidad. Es decir, es la región donde el gas ionizado se vuelve opaco a los fotones de luz visible.

Técnicamente, se puede decir que la atmósfera del sol abarca lo que se conoce como la heliosfera , por lo que nosotros, en la Tierra, estamos técnicamente dentro de la atmósfera del sol. Por lo tanto, el límite superior se parece más al choque de terminación que a la fotosfera, pero esto depende de la pregunta que desee abordar (más sobre eso a continuación).

Las estrellas más masivas tienen una superficie aún más ambigua debido a varios efectos. Por ejemplo, las estrellas Wolf-Rayet y O-Type a menudo tienen coronas muy extendidas que dificultan la identificación de una superficie .

¿Qué teoremas o ideas están disponibles para decidir si una estrella con cierta interdependencia dada entre sus distribuciones de densidad, presión y temperatura debería tener un límite a una distancia finita de su centro?

Voy a leer tu pregunta porque, como ya han dicho varios comentarios, una estrella no puede ser infinita.

Piensa en la atmósfera de un planeta como la Tierra o Venus . Por lo general, los describimos usando un modelo porque, en realidad, no son homogéneos ni siempre continuos (es decir, estoy pensando en gradientes de densidad pronunciados que ocasionalmente pueden surgir). El modelo es a menudo de la densidad de masa y sigue un exponencial con la siguiente forma:

$$\rho\left( h \right) = \rho_{o} e^{-h/h_{o}} \tag{1}$$ dónde $\rho\left( h \right)$es la densidad de masa en altitud $h$, $\rho_{o}$es algún punto de referencia o densidad de masa conocida (por ejemplo, la densidad de masa promedio al nivel del mar podría ser una buena opción), y $h_{o}$es la altura de la escala o la distancia de plegado electrónico (es decir, es una cantidad similar a la vida media de los materiales radiactivos). El $h_{o}$El parámetro a menudo se relaciona con el límite superior suave de una atmósfera. Se puede determinar con bastante facilidad, pero su significado físico es el factor importante aquí. Puede ver que no hay un límite rígido en ninguna parte dentro de la Ecuación 1 (es decir, la magnitud $\rho\left( h \right)$asintóticamente se acerca a cero pero nunca lo alcanza), pero ese modelo hace un muy buen trabajo al describir la mayoría de las atmósferas planetarias.

Respuesta

Para responder a su pregunta, el límite superior a menudo se determina a partir de un modelo (como los que presenta en su pregunta o la Ecuación 1 en mi respuesta) y la interpretación física es que en altitudes superiores$h_{o}$, la densidad (o cualquier otro parámetro relevante) es mucho menor que todo lo que se encuentra debajo, por lo que podemos aproximarnos a ella como pequeña, insignificante o cero, según el nivel de precisión necesario para el problema dado.

Esto no es satisfactorio, lo sé, pero la física se trata de encontrar formas de aproximarse a la naturaleza sin ignorar los efectos relevantes. Entonces, el límite superior está realmente determinado por el problema que espera abordar y su elección de modelo, ya que en realidad no existe un límite superior rígido para un cuerpo gaseoso como una estrella ( Nota: estoy ignorando núcleos estelares y casos exóticos como estrellas de neutrones .).

Ejemplo

En el caso del sol, tenga en cuenta que la densidad también se describe mediante un modelo exponencial, pero un poco más complejo debido a la ionización de las partículas. Independientemente, en la cromosfera baja , la densidad numérica total de hidrógeno puede ser del orden de$n_{H} \sim 10^{14} \ cm^{-3}$o$\sim 10^{20} \ m^{-3}$, que ya es cuatro órdenes de magnitud más tenue que la fotosfera. Por encima de aproximadamente un radio solar,$R_{\odot}$, la densidad numérica se reduce aún más a$\sim 10^{4} \ cm^{-3}$($\sim 10^{10} \ m^{-3}$) a sólo una altitud de$\sim 5 \ R_{\odot}$, o aproximadamente diez órdenes de magnitud.

Por lo tanto, como puede ver, la cantidad de materia por unidad de volumen comienza a ser insignificantemente pequeña por encima de cierta altura de escala, pero no llega a cero. No podemos modelar todo a la perfección, por lo que el truco consiste en aproximar el lugar donde la atmósfera ya no importa dentro de los límites de la pregunta que intenta abordar.

Nota al margen: a la altitud de 1 UA (es decir, aproximadamente la ubicación de la órbita de la Tierra), la densidad numérica de la atmósfera del sol se ha reducido a$\sim 1-10 \ cm^{-3}$($\sim 10^{6}-10^{7} \ m^{-3}$).

Permítanme dar un ejemplo que acabo de calcular:

Preliminares:

1) A través de la ecuación de Poisson, la ecuación hidrostática se puede reescribir como

$$\begin{equation} \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{dp}{dr}\right)=-4\pi G \rho \end{equation}$$

2) Podemos simplificar esto introduciendo una entalpía$h$integrando

$$\begin{equation} \frac{dh}{dr}=\rho \frac{dp}{dr} \end{equation}$$ lo que implica que $h$, como $p$, no es creciente en $r$. $h$se define hasta un término constante que establecemos por el requisito de que $h(R) = 0$(que no siempre es posible, pero está bien en el caso que consideraré. Por cierto, $R=\infty$por supuesto es posible). La ecuación hidrostática ahora dice $$\begin{equation} \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dh}{dr}\right)=-4\pi G \rho \end{equation}$$

3) Para facilitar las cosas, introducimos cantidades adimensionales

$$\begin{equation} \begin{cases} & r(x)=Rx \\ & \rho(r(x))=\rho(0) u(x) \\ & h(r(x))=h(0) v(x) \end{cases} \end{equation}$$ de modo que $u(0)=v(1)=1$y donde hemos elegido la escala $R$por lo que la ecuación de equilibrio se lee muy bien $$\begin{equation} \frac{1}{x^2}(x^2v'(x))' = - u(x) \end{equation}$$ (los primos denotan diferenciación con respecto a $x$).

Teorema Supongamos que$u$y$v$son una solución de la ecuación diferencial anterior con las condiciones de contorno establecidas y$\forall x > 0$tenemos eso$v(x)^2=:f(v(x))\leq u(x)\leq g(v(x)):=1-\epsilon + \epsilon v(x)$($\epsilon>0$arbitrariamente pequeño), entonces$v$tiene una raíz para algo finito$x^*$. (Nota: para una estrella hecha de materia fría no degenerada, tendríamos$u=v^{\frac{3}{2}}$, por lo que este caso se trata en la actualidad)

prueba : La prueba procede suponiendo que$v>0$en todo el eje real positivo (de modo que$v$también satisface la ecuación hidrostática en todo ese rango) y luego deriva una contradicción. Dejo al lector comprobar que$\lim_{x\to 0+} u(x)=1=\lim_{x\to 0+} v(0)$implica que$\lim_{x\to 0+} v'(x)=0$. en el intervalo$I:=(0,x^*)$dónde$u$es positivo, tenemos por seguro que$\forall x \in I$

$$\begin{equation} x^2v'(x)=-\int_0^x s^2u(s)\text{d}s < 0 \end{equation}$$ entonces $v$seguramente es decreciente en el mismo intervalo. También tenga en cuenta que $$\begin{equation} -1=\lim_{x \to 0+}-u(x)=\lim_{x \to 0+} \left(v''(x)+2\frac{v'(x)}{x}\right)=3\lim_{x \to 0+}v''(x) \end{equation}$$ Así que definitivamente podemos encontrar un $\delta>0$tal que $v(x)\leq 1-\frac{1}{12}x^2$mientras $x < \delta$. Junto con el hecho de que $v$es decreciente, esto implica $v < v_1:=1-e$dónde $$\begin{equation} e(x)=\begin{cases} &\frac{1}{12}x^2 \text{ when } x < \delta \\ &\frac{1}{12}\delta \text{ otherwise }\end{cases}. \end{equation}$$ Esto implica que $u \leq g(v) < g(v_1)=1-\epsilon e$. tan integrando $$\begin{equation} x^{-2}(x^2v')'=-u > 1 - \epsilon e \end{equation}$$ da $$\begin{equation} v(x)>max(0,1-\frac{x^2}{2}+d(x))\geq \begin{cases}& 1-\frac{x^2}{2}+d(x) \text{ when } x < \sqrt{6} \\ & 0 \text{ otherwise.}\end{cases}=:v_2(x) \end{equation}$$ donde definí la función continua positiva $d(x):=\int_0^x \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s \text{d}t(t^2 e(t))$cuyos detalles no son importantes. Ahora a su vez tenemos eso $$\begin{equation} x^{-2}(x^2v')'=-u \leq -f(v) \leq -f(v_2)=-v_2^2. \end{equation}$$ Integrando de nuevo, obtenemos que $$\begin{equation} v(x) \leq \begin{cases} & 1-\int_0^x \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t \text{ when } x < \sqrt{6} \\ & 1-\int_0^\sqrt{6} \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t+(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{6}})\int_0^{\sqrt{6}} (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t \text{ otherwise } \end{cases} < \begin{cases} & 1-\int_0^x \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6})^2)\text{d}t \text{ when } x < \sqrt{6} \\ & 1-\underbrace{\int_0^\sqrt{6} \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6})^2)\text{d}t}_{=:a}+(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{6}})\underbrace{\int_0^{\sqrt{6}} (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t}_{=:b} \text{ otherwise } \end{cases} \end{equation}$$ donde se puede calcular que $a=\frac{19}{35}$y $b>\frac{16}{35}\sqrt{6}$con la desigualdad debida a la contribución extra positiva de la función positiva $d$. Entonces, la segunda mitad del límite superior dice $$\begin{equation} v(x)<\frac{16}{35}+(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{6}})b=\frac{16}{35}+(\frac{\sqrt{6}}{x}-1)(\frac{16}{35}+\kappa) \end{equation}$$ (cuando $x > \sqrt{6}$) dónde $\kappa>0$es una pequeña constante. Este límite superior tiene un cero en finito $\tilde{x}$. Por eso $v$tiene un cero en un finito $x'\leq\tilde{x}$, lo cual es una contradicción. Por eso $v$tiene un cero en un finito $x^*$(Esta lógica suena extraña, pero es correcta)

De manera similar, he usado los trucos que me dieron este teorema para determinar, numéricamente, que igualmente tomando$f(v)=0.95 v^3$(recordar que$u=v^3$es el politropo de la materia degenerada) y$g(v)=v^{2.5}$también implica un radio finito. combinaciones como$(g,f)=(v^{1.5},v^3)$y$(g,f)=(v^2,v^3)$no parecen arrojar ninguna conclusión (usando este método numéricamente).