¿Qué distribuciones de masa garantizan que dos cuerpos tengan órbitas no keplerianas? ¿Qué distribuciones no esféricas todavía permiten órbitas keplerianas no circulares?

Las trayectorias de dos masas puntuales o masas esféricamente simétricas con respecto a su centro de masa son secciones cónicas u órbitas de Kepler .

Considere que los cuerpos tienen un tamaño finito con respecto a su separación y distribuciones de masa no necesariamente uniformes, o incluso esféricamente simétricas.

En ese caso, ¿cuáles son las restricciones sobre sus distribuciones de masa y orientaciones de modo que sus órbitas sigan siendo keplerianas? ¿O cualquier desviación de la simetría esférica de uno o ambos cuerpos da como resultado inmediatamente una órbita no kepleriana?

Esta respuesta a la pregunta de Astronomy SE ¿Qué punto en un cuerpo en órbita sigue más de cerca su trayectoria Kepleriana? explica:

Si uno o ambos cuerpos tienen una distribución de densidad simétrica no esférica, las órbitas ya no serán keplerianas.

pero sin citar fuentes ni usar matemáticas. Ciertamente puedo imaginar "... ya no son necesariamente keplerianos", pero ¿es esto siempre cierto en absoluto?

Solo por ejemplo, ¿no podrían dos elipsoides bloqueados por mareas tener órbitas circulares alrededor de su centro de masa?

Si es así, quizás esa sea la única excepción, pero quizás no. Si orbitaran en órbitas no circulares, ¿su aparente libración también significaría que sus centros de masa ya no seguían órbitas keplerianas estrictas? ¿Serían diferentes de las elipses, o seguirían siendo elípticas pero ya no seguirían exactamente trayectorias de área igual por unidad de tiempo? ¿Habría otro punto dentro de los cuerpos además de sus centros de masa que aún siguieran una órbita Kepleriana?

Pregunta: ¿Qué distribuciones de masa garantizan que dos cuerpos siempre tendrán órbitas no keplerianas? ¿Qué distribuciones no esféricas aún permiten órbitas keplerianas no circulares?

@Qmechanic gracias por la edición; ¿ Pueden ayudarme a entender por qué la classical-mechanicsetiqueta no se aplica? Estoy pensando que aquellos que siguen la etiqueta podrían responder a este problema de mecánica bastante simple, y es posible que tampoco estén siguiendo celestial-mechanics. ¡Gracias!
Si hay una etiqueta X y una etiqueta de subconjunto Y que se aplican, la pauta general es usar solo la etiqueta de subconjunto Y.
@Q Mechanical No es una pregunta muy "celeste", solo dos masas con una fuerza de 1 / r ^ 2 (también podrían ser cargas +/-), pero tengo a Kepler allí, así que está bien.

Respuestas (2)

Esta respuesta es trivial, pero las órbitas keplerianas están aseguradas siempre que los campos gravitatorios sean esféricamente simétricos y, por lo tanto, decaigan como 1 / r 2 . Hay un número infinito de distribuciones de masa que pueden generar un campo dado. Por ejemplo, una capa cúbica de lado yo con una densidad de masa ( yo / 2 ) / ( ( yo / 2 ) 2 + X 2 + y 2 ) ( 3 / 2 ) en cada superficie cuadrada producirá un campo esféricamente simétrico. En este ejemplo, la densidad de masa en las esquinas es aproximadamente 1/5 de la del centro de las caras.
Se puede obtener cierta información por analogía con el campo/flujo eléctrico. Los 'tubos' de flujo gravitacional deben terminar en elementos de masa. Si el flujo entrante es esféricamente simétrico, entonces la densidad de masa del caparazón debe ser como 1 / r 2 dónde r es su distancia a algún punto interior. Además, dado que la superficie generalmente formará un ángulo con el tubo radial entrante, la densidad de masa se reduce en el coseno de ese ángulo. Así es exactamente como se obtiene el resultado de la capa cúbica.
Entonces, en teoría, cualquier capa que encierre completamente un punto central puede producir un campo esférico. Obviamente, este resultado se puede extender a los cuerpos sólidos.
Es interesante especular si un campo puede ir como 1 / r 2 solo en un plano (digamos ecuatorial) pero no en otros planos. Creo que la respuesta es 'no' porque el campo lejano de cualquier objeto es esféricamente simétrico y esta condición de contorno parece excluir tales soluciones excepto por aproximación en un rango limitado de radios (por ejemplo, tal vez metiendo una mancuerna a través del agujero en una rosquilla ).

¡Esto suena muy convincente! Dado que la materia es "transparente" a la gravedad, ¿los tubos de flujo realmente terminan en las "cargas" gravitatorias de la misma manera que lo harían en las cargas eléctricas en la superficie de un conductor eléctrico? Después del café, iré a verificar esto numéricamente. También te puede interesar ¿ Cómo sería una configuración de masa similar a una bobina de Helmholz? (produce un campo de gravedad localmente uniforme)
@uhoh Acabo de encontrar este maravilloso artículo sobre un planeta cúbico completo con lagos y montañas y satélites no keplerianos: arxiv.org/pdf/1206.3857.pdf
¡Luce familiar! :-) 1 , 2
@uhoh, agregué una buena respuesta tipo Helmholz a tu otra pregunta
Veo eso, gracias por eso! Como ya sabía, sería y debería ser esta respuesta verificada numéricamente. Gracias por su respuesta aquí con un ejemplo concreto. A continuación , haré el cono de helado y la rosquilla + agujero de rosquilla .
@uhuh, esta respuesta parecería extenderse a objetos sólidos en 3D, está bien. Para el ejemplo del cubo, las conchas se pueden apilar una dentro de la otra para formar un cubo sólido. Insistir en una densidad constante es un poco más complicado, pero el caparazón delgado de densidad variable podría reemplazarse con un caparazón de grosor variable. Todo lo que se requiere es que los tubos de flujo gravitacional convergentes entrantes terminen en la cantidad apropiada de masa. Para densidad constante esto significa el volumen apropiado de material. Pero parece inevitable que un objeto de densidad constante sea hueco, de lo contrario tiene que ser una esfera sólida.
La ley de @uhoh Hook también produce órbitas elípticas cerradas. Se ajustan a la segunda de las tres leyes de Kepler (áreas iguales en tiempos iguales), pero no a las otras dos. El centro de fuerza está en el centro de la elipse (no un foco) y el período es independiente de las dimensiones (no 3/2 potencia del eje mayor). <br> El campo gravitacional dentro de un planeta esférico uniformemente denso sigue la ley de Hooke. Hay algunas dificultades técnicas menores, como construir y evacuar un túnel elíptico dentro del planeta para acomodar la órbita o simplemente podríamos construir el planeta con helio superfluido.
Oh, ya veo lo que quieres decir, ¡qué genial! :-)

Hay infinitas formas de este tipo que funcionan, incluso algunas sin nada parecido a la simetría esférica. Para dar un ejemplo simple, recuerde el método de imágenes para esferas en electromagnetismo. Cuando mueve una carga puntual cerca de una esfera conductora, induce una distribución de carga no simétrica en la esfera. Pero el campo electrostático de esa distribución de carga es imitado exactamente por una carga puntual ficticia dentro de la esfera, llamada carga imagen.

Eso significa, por el contrario, que el campo gravitatorio de una masa puntual puede ser imitado exactamente por una distribución de masa no simétrica que lo encierra. Al superponer múltiples distribuciones de este tipo, puede obtener una distribución masiva que se vea tan extraña como desee, pero cuyo campo tenga exactamente 1 / r 2 comportamiento fuera de ella.

@uhoh ¿Por qué no se aplicaría la analogía? Todas las ecuaciones que importan son las mismas. El hecho de que una cierta distribución de carga en una esfera tenga el mismo campo externo que una imagen de carga puntual se deriva de nada más que de la ley de Coulomb. Entonces, el hecho de que la distribución de masa análoga en una esfera tenga el mismo campo externo que una masa puntual se deriva de nada más que de la ley de la gravedad de Newton. Ambas son leyes del inverso del cuadrado, entonces, ¿cuál es el problema?
@uhoh Considere una esfera conductora conectada a tierra en presencia de una carga puntual negativa. Se induce una carga positiva en la esfera para proteger las líneas de campo de la carga negativa. Todo lo que digo es que puedes convertir esa distribución de carga positiva en una distribución de masa positiva, y también parecerá que está hecha por una masa puntual de imagen. No digo que puedas proteger la carga gravitatoria, porque ni siquiera puedes establecer la misma situación en la gravedad ; no hay masas negativas.
@uhoh Pero eso no es lo que estoy haciendo. Estoy diciendo que la técnica de las cargas de imagen en el electromagnetismo, que no se aplica en absoluto a la gravedad, aún produce un ejemplo particular útil de una distribución de carga. Ese ejemplo particular de una distribución de carga tiene una distribución de masa análoga, que tiene un campo gravitacional análogo porque la ley de Coulomb y la ley de la gravedad de Newton son inversamente cuadradas.
Ahora lo tengo, si, gracias!
"el campo electrostático de esa distribución de carga es imitado exactamente por una carga puntual ficticia dentro de la esfera, llamada carga de imagen". Esta afirmación es cierta para un plano, pero no para una esfera. La aberración esférica hace que la imagen (virtual) de un punto se extienda en una curva cáustica.
¿Qué distribuciones de masa garantizan que dos cuerpos tengan órbitas no keplerianas? ¿Qué distribuciones no esféricas todavía permiten órbitas keplerianas no circulares?
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