¿Por qué el campo magnético de una corriente esféricamente simétrica es cero?

Supongamos (ya que no lo dijo) que la carga en el medio está disminuyendo (se vuelve más negativa si es negativa, se vuelve negativa si es cero y disminuye si es positiva) y que la densidad de corriente es radial hacia afuera.

Si elige una orientación para el bucle, la circulación del campo magnético alrededor de ese bucle es proporcional a la corriente total (eléctrica y de desplazamiento) a través de la superficie cerrada más pequeña, la que parece un sombrero pequeño.

Si elige la orientación opuesta para el bucle, la circulación del campo magnético alrededor de ese bucle es proporcional a la corriente total (eléctrica y de desplazamiento) a través de la superficie cerrada más grande, la que se parece a todos los demás puntos de la superficie, excepto el pequeño. sombrero.

Si la corriente es esféricamente simétrica y el campo eléctrico es esféricamente simétrico entonces ($\vec J+\epsilon_0\partial \vec E/\partial t$) tiene un flujo hacia afuera positivo, un flujo hacia afuera negativo o un flujo hacia afuera cero.

Si es positivo, cuando toma el flujo de la pequeña capitalización, obtiene un flujo positivo y, por lo tanto, una circulación positiva. Pero lo mismo cuando tomas el flujo de la superficie más grande, la superficie que es toda la esfera excepto la tapa, entonces la circulación del campo magnético en la orientación opuesta también te da una integral de línea positiva. Eso es una contradicción porque deberían ser negativos entre sí.

Lo mismo sucede si el flujo es negativo.

Si el flujo es cero, no hay problema. Pero esto no muestra que el campo magnético sea cero. Muestra que la corriente de desplazamiento y la corriente eléctrica dan un flujo neto cero.

Podría colocar su configuración esférica dentro de un enorme solenoide y el campo magnético no sería cero. Y de todos modos, estos argumentos sobre integrales de línea en una superficie esférica no dicen absolutamente nada sobre el componente radial del campo magnético.

Este problema aparece por primera vez en Feynman Lectures como un ejercicio para el Capítulo 3 (problema 39.3 en la edición azul). En ese momento, Feynman está interesado en tener una idea básica de las ecuaciones de Maxwell y mostrar su consistencia. Desde ese punto de vista, el argumento de que la$\dot{\mathbf{E}}$término cancela el$\mathbf{j}$término en el rizo$\mathbf{B}$La ecuación es interesante.

Pero Feynman no logró tener claro el motivo por el cual$\mathbf{B}=0$. La configuración tiene simetría rotacional sobre$O$el centro de la esfera. Entonces$\mathbf{B}$debe ser radial. [Toma cualquier punto$P$fuera de la esfera. Girando sobre el eje$OP$debe irse$\mathbf{B}$sin cambios, por lo que debe ser radial.]

Ahora usa la versión integral del graduado.$\mathbf{B}$ecuación - integrando sobre la superficie del radio de la esfera$OP$- para mostrar que$\mathbf{B}=0$(sin monopolos magnéticos).

[Por cierto, graduado$\mathbf{B}$= rizo$\mathbf{B}=0$solo no es suficiente para demostrar que$\mathbf{B}=0$. ]

Descompongamos el campo magnético en una parte radial y angular:$\vec{B}=B_r \hat{r}+\vec{B_\Omega}$. Veamos también alguna esfera alrededor del origen.

1. Por qué$B_r=0$:

$B_r$es constante alrededor de la esfera y, por lo tanto, el flujo magnético en ella es$4\pi B_r$, pero esto debe desaparecer debido a$\nabla \cdot B=0$.

2. Por qué$\vec{B_\Omega}=0$:

$\vec{B_\Omega}$es un campo vectorial definido en la esfera 2, lo que significa que siempre es tangente a la esfera (por definición). Según el teorema de la bola peluda , desaparece en alguna parte. Por simetría esférica, debería desaparecer en todas partes de la esfera. De este modo$\vec{B_\Omega}=0$.