¿Cómo se relacionan clásicamente la fuerza de Lorentz, la tercera ley de Maxwell y la ley de inducción de Faraday?

Supongo que lo que significa la ley de inducción de Faraday es lo que Griffiths llama la "regla de flujo universal", cuya declaración se puede encontrar en esta pregunta . Esto cubre tanto el caso 1) como el 2), aunque en el 1) se justifica por la tercera ecuación de Maxwell ¹ y en el 2) por la ley de fuerzas de Lorentz.

La regla del flujo universal es una consecuencia de la tercera ecuación de Maxwell, la ley de fuerza de Lorentz y la ley de Gauss para el magnetismo (la segunda ecuación de Maxwell). En la medida en que esas tres leyes son fundamentales, la regla del flujo universal no lo es.

No comentaré si la regla del flujo universal es intuitivamente cierta. Pero la relación real viene dada por la derivación de la regla del flujo universal a partir de las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz. Puede derivarlo usted mismo, pero requiere que:

1. conocer la forma de la regla integral de Leibniz para la integración sobre una superficie orientada en tres dimensiones
2. ser capaz de derivar #1 de la declaración más general usando geometría diferencial
3. ser capaz de llegar a un tipo de argumento intuitivo que involucre deformaciones infinitesimales del bucle, como el que se muestra aquí .

Si miras la fórmula para (1), y estableces$\mathbf{F} = \mathbf{B}$, ves que

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} &= \iint_{\Sigma} \dot{\mathbf{B}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} + \iint_{\Sigma} \mathbf{v}(\nabla \cdot \mathbf{B}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\partial \Sigma} \mathbf{v} \times \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol\ell \\ &= - \iint_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\partial\Sigma} \mathbf{v} \times \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol\ell \\ &= -\int_{\partial \Sigma} \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol\ell \end{align*}$$

donde hemos utilizado la tercera ecuación de Maxwell, la ley de Gauss para el magnetismo y el teorema de Kelvin-Stokes. La expresión final del lado derecho es, por supuesto, la fem negativa en el bucle, y recuperamos la regla del flujo universal.

Observe que el primer término,$\iint_\Sigma \dot{\mathbf{B}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$, se convierte en la parte eléctrica de la fem, por lo que si la espira es estacionaria y el campo magnético cambia, entonces la fem resultante se debe por completo al campo eléctrico inducido. En cambio, el tercer término,$-\int_{\partial\Sigma} \mathbf{v} \times \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol\ell$, se convierte en la parte magnética de la fem, por lo que si el campo magnético es constante y la espira se mueve, la fem resultante se debe enteramente a la fuerza de Lorentz. En general, cuando el campo magnético puede cambiar y la espira también puede moverse simultáneamente, la fem total es la suma de estas dos contribuciones.

Si usted es un estudiante universitario que está tomando un primer curso en electromagnetismo, debe conocer la declaración de la regla del flujo universal y debe poder justificarla resolviendo casos específicos utilizando la tercera ecuación de Maxwell, la ley de fuerza de Lorentz o alguna combinación. del mismo, pero no puedo imaginar que se le pida la prueba del caso general desde cero, como se indicó anteriormente.

La regla del flujo universal solo se aplica al caso de un cable idealizado, modelado como una curva cerrada unidimensional continua en la que la corriente está restringida a fluir, que posiblemente sufre una deformación continua. No se puede utilizar para casos como el disco de Faraday. En tales casos, deberá volver a los primeros principios, es decir, la tercera ecuación de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz. No existe un atajo o una generalización de la regla de flujo que pueda aplicar. Deberías poder hacer esto en un examen.

¹ Esta ecuación también se conoce como "ley de Faraday" (que trato de evitar) o la "ecuación/ley de Maxwell-Faraday" (que también evitaré aquí debido a la posibilidad de causar confusión).

Las ecuaciones diferenciales de Maxwell se aplican a campos (o potenciales) en todos los puntos del espacio y el tiempo sujetos a las condiciones de contorno del problema a resolver. Examinemos las condiciones de contorno específicas que ha implicado:

1) Para el caso del campo magnético cambiante y el bucle de alambre estático, parece tener dos condiciones límite. La condición de frontera A es una definición de la primera derivada temporal del campo magnético en todos los puntos del espacio y el tiempo. La condición de contorno B es más probable que sea una equipotencialidad (una constante) a lo largo de la superficie del cable y, de manera equivalente, que el campo eléctrico sea 0 dentro del cable. Es posible que este no sea exactamente el problema de límites que desea. Suponga, por ejemplo, que desea resolver las ecuaciones de Maxwell para los campos de un imán permanente real y un bucle de alambre real. La parte difícil es que un bucle de alambre real con corriente real también crearía un campo magnético.$B_L$, y la condición de frontera A es la suma del cambio en el campo magnético de bucle y el campo magnético permanente. Sin embargo, dado que solo está intentando mostrar la ley de inducción de Faraday, parece que puede escapar sin examinar los detalles del campo magnético sumado.

2) Para el caso del bucle cambiante, sus condiciones de contorno parecen ser similares, pero demasiado restrictivas. Su Condición de Frontera A ahora se convierte en la afirmación de que el campo magnético no puede cambiar. Por definición de la condición límite A, es posible que el bucle no cree un campo magnético cambiante. La "fuente" del campo magnético permanente tampoco puede cambiar o moverse, por la misma lógica. Por lo tanto, cambiar el diámetro del cable sin cambiar el campo magnético solo puede ocurrir si tanto la corriente en el cable como el campo magnético son 0. Si la "fuente" del campo magnético no es cero, entonces cambiar el diámetro del cable será cambie la corriente en el cable y altere el campo magnético del cable, lo que viola la condición A. Si la corriente en el cable no es cero, cambiar el diámetro del cable también alterará el campo magnético.

Lo que hay que recordar es que las ecuaciones de Maxwell se aplican a los campos electromagnéticos en las 4 dimensiones del espacio y el tiempo. Las distribuciones de carga y corriente no se pueden utilizar directamente como condiciones de contorno. En su lugar, debe convertir las distribuciones de carga y corriente en restricciones en los campos y/o potenciales. Solo entonces puedes usar las ecuaciones de Maxwell para encontrar los campos. Finalmente, después de encontrar los campos, es posible que deba volver a convertir los límites de campo a las distribuciones actuales y de carga para obtener las respuestas que está buscando.

Puede pensar en la Fuerza de Lorentz como un hecho empírico que explica el flujo de corriente a través de cables en movimiento (el cable en movimiento da una$\vec{v}$, el$\vec{B}$existe un campo, por lo tanto hay una fuerza$q\vec{v}\times\vec{B}$).

Usando la Fuerza de Lorentz, encontramos que la FEM alrededor de muchos bucles de cables en movimiento en campos magnéticos constantes da una FEM igual a (negativo de) la tasa de cambio en el tiempo del flujo magnético en el bucle.

Esto conduce a una generalización natural (llamada Maxwell 3) de que debería haber una FEM en cualquier bucle que debería ser igual a (negativo de) la tasa de cambio en el tiempo del flujo magnético en el bucle.

Es un hecho empírico totalmente separado que esto (Maxwell 3) se cumple. Aunque con la relatividad no está tan totalmente separado como parece.

Sin implicar que nada de lo anterior sea históricamente exacto, por supuesto.

Ahora la fuerza de Lorentz se sostiene por sí sola (a menos que uses la relatividad) y es necesaria para ver cómo funciona el disco de Faraday. Para campos estáticos (pero cargas en movimiento) es todo lo que se necesita, y Maxwell 3 no es necesario. Para campos cambiantes, necesita Maxwell 3, pero sin relatividad, un campo cambiante y un cable en movimiento en un campo constante son situaciones realmente diferentes y no relacionadas. La fuerza de Lorentz y la electrostática (p. ej.$\vec{\nabla}\times \vec{E}=\vec{0}$) funciona bien para campos estáticos, incluido un disco de Faraday. Y en esas situaciones no se equivocan, porque en esas situaciones Maxwell 3 está de acuerdo con$\vec{\nabla}\times \vec{E}=\vec{0}$.