¿Cómo calcular las líneas de campo de un campo magnético inducido dentro de un capacitor?

Suponiendo que la aproximación de que el campo eléctrico es constante en el espacio pero cambia con el tiempo es razonable, entonces como$\vec j = 0$entre las placas, una posible solución para el$\vec \nabla \times \vec B$ecuación que también satisface$\vec \nabla \cdot \vec B = 0$es$\vec B = \frac{1}{2c^2} \vec r \times \frac{\partial \vec E}{\partial t}$. Para ver qué otras soluciones pueden ser, imagine otra solución$\vec B_2$, que satisface ambas ecuaciones. La diferencia$\vec \Delta = \vec B-\vec B_2$satisface$\vec \nabla \times \vec \Delta = 0$, por lo que se puede escribir como el gradiente de un campo escalar. Desde la divergencia de$\vec \Delta$es también cero, este campo escalar satisface la ecuación de Laplace. Sumando el gradiente de cualquier solución a la ecuación de Laplaces a$\vec B$dará otra solución. Debe agregar condiciones de contorno, es decir, lidiar con la forma de las placas del capacitor y la corriente de carga, para establecer estas condiciones de contorno y obtener una solución única.

Un ejemplo concreto lo da el problema 6.14 en Classical Electrodynamics, tercera edición de JD Jackson, donde pregunta por los campos en un condensador con placas circulares en la aproximación cuasiestática.

Usando la forma integral de la ley de Ampére-Maxwell sin la corriente, que es cero entre las placas:

$$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$$

podemos ver que alrededor de los bordes de las placas, LHS es máxima, porque la integral de RHS incluye toda el área. Los vectores B apuntan en el sentido de las agujas del reloj si se ven desde el lado positivo al negativo cuando$\mathbf E$esta incrementando. Para las regiones más cercanas al centro, la dirección es la misma, pero la magnitud de$\mathbf B$es más pequeño, debido al área cerrada más pequeña.