¿Las ecuaciones de Maxwell no dan un campo eléctrico único?

Question

¿Las ecuaciones de Maxwell no dan un campo eléctrico único?

Física
campos eléctricos
campos magnéticos
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell
distribuciones-dirac-delta

arturo don juan

Considere la clase de campos eléctricos dada por

mi = {\begin{cases} en (C r) \hat{z} & 0 \leq r < R \\ 0 & r > R \end{cases}

$\mathbf{E}=\begin{cases} \ln (Cr)\hat{z} & 0\leq r < R\\ 0 & r> R \end{cases}$

dónde $C$ es una constante y $r$ es la distancia polar desde el $z$ -eje (coordenadas cilíndricas). Las ecuaciones de Maxwell nos dan

\nabla \cdot mi = 0

$\nabla\cdot\mathbf{E}=0$

\nabla \times mi = {\begin{cases} - \frac{1}{s} \hat{ϕ} & 0 \leq r < R \\ 0 & r > R \end{cases}

$\nabla\times\mathbf{E}=\begin{cases} -\frac{1}{s}\hat{\phi} & 0\leq r < R\\ 0 & r> R\end{cases}$

mi \to 0 como r \to \infty

$\mathbf{E}\rightarrow 0 \textrm{ as } r \rightarrow \infty$

Pensé que estas relaciones determinarían de manera única un campo eléctrico, pero en este caso todavía existe el parámetro/constante libre $C$ . Además, si tuviéramos un campo magnético tal que

- \frac{\partial B}{\partial t} = \nabla \times mi

$-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\nabla\times\mathbf{E}$

entonces no obtendríamos un campo eléctrico único (como acabo de mostrar). Por ejemplo, el campo magnético

B = {\begin{cases} \frac{t}{s} \hat{ϕ} & 0 \leq r < R \\ 0 & r > R \end{cases}

$\mathbf{B}=\begin{cases}\frac{t}{s} \hat{\phi} & 0\leq r < R\\ 0 & r>R\end{cases}$

no parece producir un campo eléctrico único por el argumento presentado anteriormente. ¿Dónde está el error en esto? Sé que esto tiene que estar mal, porque no podemos tener la no unicidad en la naturaleza (solo medimos un campo eléctrico).

robar

Tu declaración

\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0

$\vec\nabla \cdot \vec E = 0$ sugiere que está generando un campo no uniforme a lo largo de la

z

$z$ -eje, con divergencia en el origen, sin cargas. Esto no es posible, y es un indicio de que puede haber postulado un campo no físico. Hay muchos campos eléctricos no físicos. ¿Tenías la intención de tener un

\hat{z}

$\hat z$ en la primera ecuacion? Creo que si es así tu rizo de

E

$E$ Es incorrecto.

LLAMNYP

No está permitido establecer el campo en cero para r>R. Puede volverse discontinuo.

robar

@LLlAMnYP Discontinuo

\vec{E}

$\vec E$ está bien si hay carga superficial, pero no si

\nabla \cdot \vec{E} = 0

$\nabla\cdot\vec E=0$ en todos lados. Puede convertir cualquier campo local extraño en un monopolo con una gruesa capa esférica conductora. igualmente discontinuo

\vec{B}

$\vec B$ en hojas actuales.

LLAMNYP

@rob Los componentes tangentes deben coincidir; de lo contrario, hay un campo B infinito en alguna parte

LLAMNYP

Esto parece un cable en r=0 con

I \propto t

$I\propto t$ fluyendo a lo largo de él y un cilindro de radio

R

$R$ con la misma corriente total fluyendo en la dirección opuesta.

LLAMNYP

Ah, ahora veo. La corriente en el cilindro exterior no está obligada a coincidir.

l n C

$ln C$ es un desplazamiento constante. Debe haber un plano infinito en algún lugar en

z = \pm \infty

$z = \pm \infty$ que crea un uniforme adicional

E

$E$ campo, que es proporcional a

j_{i n n e r} - j_{o u t e r}

$j_{inner} - j_{outer}$ o algo así.

arturo don juan

@rob Si puede convertir sus comentarios en una respuesta, entonces puedo aceptarlo y responder esta pregunta.

robar

@ArturodonJuan ¿Cuál fue el origen de este campo eléctrico propuesto --- era un modelo físico?

Respuestas (4)

¿Las ecuaciones de Maxwell no dan un campo eléctrico único?

Tu declaración $\vec\nabla \cdot \vec E = 0$ sugiere que está generando un campo no uniforme a lo largo de la $z$ -eje, con divergencia en el origen, sin cargas. Esto no es posible, y es un indicio de que puede haber postulado un campo no físico. Hay muchos campos eléctricos no físicos. ¿Tenías la intención de tener un $\hat z$ en la primera ecuacion? Creo que si es así tu rizo de $E$ Es incorrecto.
No está permitido establecer el campo en cero para r>R. Puede volverse discontinuo.
@LLlAMnYP Discontinuo $\vec E$ está bien si hay carga superficial, pero no si $\nabla\cdot\vec E=0$ en todos lados. Puede convertir cualquier campo local extraño en un monopolo con una gruesa capa esférica conductora. igualmente discontinuo $\vec B$ en hojas actuales.
@rob Los componentes tangentes deben coincidir; de lo contrario, hay un campo B infinito en alguna parte
Esto parece un cable en r=0 con $I\propto t$ fluyendo a lo largo de él y un cilindro de radio $R$ con la misma corriente total fluyendo en la dirección opuesta.
Ah, ahora veo. La corriente en el cilindro exterior no está obligada a coincidir. $ln C$ es un desplazamiento constante. Debe haber un plano infinito en algún lugar en $z = \pm \infty$ que crea un uniforme adicional $E$ campo, que es proporcional a $j_{inner} - j_{outer}$ o algo así.
@rob Si puede convertir sus comentarios en una respuesta, entonces puedo aceptarlo y responder esta pregunta.
@ArturodonJuan ¿Cuál fue el origen de este campo eléctrico propuesto --- era un modelo físico?

Javier · Answer 1

El problema es que calculaste mal el rizo; te perdiste una función delta que surge de la discontinuidad. Podemos escribir $E_z$ como

{mi}_{z} = en (C r) Θ (R - r)

$E_z = \ln(Cr) \Theta(R-r)$

y, usando eso $\Theta'(x) = \delta(x)$ , lo conseguimos

\nabla \times mi = - \frac{1}{r} Θ (R - r) \hat{ϕ} - en (C R) d (r - R) \hat{ϕ}

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{r} \Theta(R-r) \hat{\phi} - \ln(CR)\delta(r-R)\hat{\phi}$

así que al dar $\nabla \cdot \mathbf{E}$ y $\nabla \times \mathbf{E}$ necesitas especificar $C$ : no es una constante libre.

Esto se puede ilustrar con un ejemplo mucho más simple. Supongamos que exiges $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ , $\nabla \times \mathbf{E} = 0$ y $\mathbf{E} \to 0$ en el infinito Entonces, si te olvidas de la función delta, cualquier campo que sea constante en una región limitada del espacio y cero en cualquier otra parte resuelve estas ecuaciones.

La moraleja es que para sacar la unicidad de las ecuaciones de Maxwell necesitas que los campos sean diferenciables (o tal vez $C^1$ ), que no es su ejemplo, o necesita usar distribuciones como lo hice yo.

Con respecto a su último punto: no hay razón para que un campo magnético dado produzca un campo eléctrico único, porque sabiendo $\mathbf{B}$ determina $\nabla \times \mathbf{E}$ y $\partial \mathbf{E} / \partial t$ pero no $\nabla \cdot \mathbf{E}$ o las condiciones de contorno. Puede agregar cualquier campo estático con cero curl y aún así obtener una solución válida.

Veamos qué tipo de fuentes podrían producir estos campos. Reescribí esta parte porque era un poco un desastre.

Primero obsérvese que desde $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ , no hay cargos. Podríamos haber perdido cargos en $r=0$ porque $\mathbf{E}$ no está definido allí, pero la integración a lo largo de una superficie cilíndrica gaussiana revela que tampoco hay cargas allí.

Para más adelante necesitaremos lo siguiente:

- \nabla^{2} mi = [\frac{d (r - R)}{r} (2 + en (C R)) + d^{'} (r - R) en (C r)] \hat{z} \equiv ϵ (r) \hat{z}

$-\nabla^2 \mathbf{E} = \left[ \frac{\delta(r-R)}{r}(2+\ln(CR)) + \delta'(r-R)\ln(Cr)\right] \hat{z} \equiv \epsilon(r)\hat{z}$

Usando la ley de Faraday con campo magnético cero en $t=0$ lo conseguimos

B = - (\nabla \times mi) t = [\frac{1}{r} Θ (R - r) + en (C R) d (r - R)] t \hat{ϕ}

$\mathbf{B} = -(\nabla\times\mathbf{E})t = \left[\frac{1}{r}\Theta(R-r) + \ln(CR)\delta(r-R)\right] t \hat{\phi}$

Ahora podemos obtener las corrientes de la ley de Ampère. La versión diferencial no revela un cable de corriente en $r=0$ porque $\mathbf{B}$ no está definido, por lo que necesitamos usar la versión integral para eso. El resultado completo es

j = [\frac{d (r)}{r} \hat{z} - \nabla^{2} mi] t = [\frac{d (r)}{r} + ϵ (r)] t \hat{z}

$\mathbf{J} = \left[\frac{\delta(r)}{r}\hat{z}-\nabla^2 \mathbf{E}\right]t = \left[\frac{\delta(r)}{r}+\epsilon(r)\right]t\hat{z}$

Hay infinitos en todas partes, pero como sabemos, estos no son realmente un problema si los interpretamos como aproximaciones de corrientes y campos uniformes. Tenemos un cable en $r=0$ que transporta una corriente que va linealmente con $t$ ; esto es perfectamente razonable. El comportamiento en $r=R$ es un poco más raro. Hay una hoja de corriente de función delta y una hoja de corriente derivada de función delta, que podríamos interpretar como dos corrientes que van en direcciones opuestas muy juntas, no muy diferente de una hoja de dipolo en electrostática.

Conclusión: siempre que se entienda que las densidades de corriente infinitas son realmente aproximaciones de láminas de corriente muy delgadas y que las soluciones se mantienen durante un intervalo de tiempo finito (como siempre sucede), esta solución parece lo suficientemente física. Al menos no es completamente irreal. Sin embargo, es posible que tenga algunos problemas con todas las hojas actuales superpuestas si intenta hacerlo en el laboratorio.

Hojas de corriente cilíndricas infinitesimalmente concéntricas son objetos matemáticos (y físicos aproximados) perfectamente válidos, pero no son compatibles con las discontinuidades en ${\bf E}$ en este caso. ¿Puede dar expresiones explícitas para ${\bf J}$ y/o ${\bf B}$ ?
@tparker: ¿Por qué dices que no son compatibles? Todas las ecuaciones parecen estar satisfechas, por lo que puedo ver.
El problema es que colocar dos hojas opuestas infinitesimalmente juntas solo crea un campo magnético de "hoja" entre ellas, y necesitamos un campo magnético masivo para inducir el campo eléctrico, ya que no hay carga para generarlo. Ver mi respuesta para más detalles.
@tparker: pero funciona un campo magnético de función delta; la prueba de que la componente tangencial de $\mathbf{E}$ debe ser continuo supone que $\mathbf{B}$ es finito
@tparker: La expresión para $\mathbf{B}$ está en la versión editada de la respuesta (no estoy seguro si estaba allí antes). Ambos $\mathbf{B}$ y $\partial \mathbf{B}/\partial t$ son infinitos en $r = R$ , pero ambos están bien definidos en un sentido de distribución.

parker · Answer 2

En primer lugar, la componente tangencial de ${\bf E}$ (es decir, el componente paralelo a la interfaz) siempre es continuo a través de las interfaces , por lo que $E_z$ debe ser continua en $r = R$ , que corrige $C = 1/R$ . No existe una configuración física de fuentes que pueda producir algún otro valor para $C$ .

${\bf E}$ no depende del tiempo, entonces ${\bf \nabla \times E} = -\partial {\bf B}/ \partial t$ da

B = - (\nabla \times mi) t = - \frac{1}{r} Θ (R - r) t \hat{ϕ}

${\bf B} = -({\bf \nabla \times E})\, t = -\frac{1}{r} \Theta(R - r)\, t\, \hat{\phi}$ (eligiendo la simplicidad para establecer

B (t = 0) = 0

${\bf B}(t = 0) = {\bf 0}$ ), por lo que el campo magnético es azimutal y aumenta constantemente con el tiempo dentro del cilindro de radio

R

$R$ .

Tomando el rizo da eso para $r > 0$ ,

\nabla \times B = j = \frac{1}{r} \frac{d (r B_{ϕ})}{d r} \hat{z} = \frac{d (r - R)}{r} t \hat{z} .

${\bf \nabla} \times {\bf B} = {\bf J} = \frac{1}{r} \frac{d (r\, B_\phi)}{d r} \hat{z} = \frac{\delta(r-R)}{r}\, t\, \hat{z}.$

Tenemos que considerar el eje $r = 0$ por separado, porque los campos divergen allí. Señalando que $\oint {\bf B} \cdot d{\bf l} = -2 \pi t$ para un círculo alrededor de la $z$ -eje dentro del radio $R$ , la forma integral de la ley de Ampere da que hay una corriente ${\bf J} = -t\, \hat{z}$ en el eje.

La interpretación física es que hay una línea de corriente eléctrica corriendo por el $z$ -eje y una lámina cilíndrica de corriente con radio $R$ corriendo, ambos aumentando constantemente en el tiempo, sin corriente neta paralela a $\hat{z}$ . Es como un solenoide con una sección transversal cuadrada enrollada en una rosquilla, luego el agujero en el medio se reduce a una línea, luego las dos caras planas se alejan mucho, y al igual que un solenoide, una corriente en constante aumento induce un aumento constante ${\bf B}$ campo pero una constante ${\bf E}$ campo.

Mmm. ¿Hay una densidad de corriente (cambiante) que podría producir el campo magnético requerido?

jerry schirmer · Answer 3

Las ecuaciones de Maxwell solo dan un campo eléctrico único sujeto a un conjunto de condiciones de contorno y una condición inicial para el campo.

Michael Seifert · Answer 4

Para cualquier campo eléctrico dado $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$ en alguna región del espacio, y suponiendo que no haya restricciones en el campo magnético, siempre hay un conjunto de cargas y corrientes (ambas posiblemente dependientes del tiempo) en esa región del espacio que producen ese campo eléctrico particular. Además, mientras que las cargas requeridas están determinadas de forma única, las corrientes no lo están. Aquí está la construcción:

Dejar $\rho(\mathbf{r},t) = \epsilon_0 \mathbf{\nabla \cdot E}$ . Esto define de forma única la densidad de carga requerida en la región del espacio de interés.
Ahora deseamos encontrar un campo magnético $\mathbf{B}(\mathbf{r},t)$ tal que $\mathbf{\nabla \cdot B} = 0$ y $\partial \mathbf{B} /\partial t = - \mathbf{\nabla \times E}$ . Esto es fácil de hacer: dejar $B (r, t) = - \int \nabla \times mi d t + B_{0} (r),$ $\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = - \int \mathbf{\nabla \times E} \; dt + \mathbf{B}_0(\mathbf{r}),$ dónde $\mathbf{B}_0(\mathbf{r})$ es cualquier función de $\mathbf{r}$ satisfactorio $\mathbf{\nabla \cdot B}_0 = 0$ . la libertad en $\mathbf{B}_0(\mathbf{r})$ implica que no tendremos un único $\mathbf{B}(\mathbf{r}, t)$ ; más sobre esto más adelante.
Finalmente, defina $\mathbf{J}(\mathbf{r},t)$ ser $j (r, t) = \frac{1}{m_{0}} \nabla \times B - ϵ_{0} \frac{\partial mi}{\partial t} .$ $\mathbf{J}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{\nabla \times B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$ Por construcción explícita, tenemos $\mathbf{\nabla \cdot J} = - \partial \rho / \partial t$ (Tome la divergencia de la Ley de Ampère y la derivada temporal de la Ley de Gauss para probar esto). $\rho$ y $\mathbf{J}$ así construido producirá el campo eléctrico deseado $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$ .

Desde $\mathbf{B}$ no es único en esta construcción, $\mathbf{J}$ tampoco será único. En particular, $\mathbf{J}$ se divide naturalmente en una pieza dependiente del tiempo $\mathbf{J}_E$ que está determinado por $\mathbf{E}$ y una pieza estática $\mathbf{J}_0$ que es independiente de $\mathbf{E}$ . Combinando nuestras definiciones de $\mathbf{B}$ y $\mathbf{J}$ arriba, obtenemos

j (r, t) = \underset{\equiv j_{mi}}{\underset{⏟}{\frac{1}{m_{0}} \int [\nabla^{2} mi - \nabla (\nabla \cdot mi)] d t - ϵ_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}}} + \underset{\equiv j_{0}}{\underset{⏟}{\frac{1}{m_{0}} {\nabla \times B}_{0}}} .

$\mathbf{J}(\mathbf{r},t) = \underbrace{\frac{1}{\mu_0} \int \left[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mathbf{\nabla (\nabla \cdot E)} \right] dt - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}_{{} \equiv \, \mathbf{J}_E} + \underbrace{\frac{1}{\mu_0} \mathbf{\nabla \times B}_0}_{\equiv \, \mathbf{J}_0}.$ Desde

J_{0}

$\mathbf{J}_0$ y

B_{0}

$\mathbf{B}_0$ satisfacer

{\nabla \times B}_{0} = μ_{0} J_{0}

$\mathbf{\nabla \times B}_0 = \mu_0 \mathbf{J}_0$ y

{\nabla \cdot B}_{0} = 0

$\mathbf{\nabla \cdot B}_0 = 0$ , podemos interpretarlos como una distribución de corriente estacionaria (satisfaciendo

{\nabla \cdot J}_{0} = 0

$\mathbf{\nabla \cdot J}_0 = 0$ por definición) y el campo magnético producido por esta corriente. Así, nuestra libertad de elegir

J

$\mathbf{J}$ anterior corresponde a nuestra libertad de tomar la superposición de un conjunto de fuentes

ρ

$\rho$ &

J_{E}

$\mathbf{J}_E$ (que producen un campo eléctrico dado

E

$\mathbf{E}$ ) y una configuración de corriente estacionaria

J_{0}

$\mathbf{J}_0$ ; esta superposición aún producirá el mismo campo eléctrico por definición.

Tenga en cuenta que incluso si imponemos condiciones de contorno espacial para $\mathbf{B}$ , esto no elimina la libertad que tenemos para agregar cualquier $\mathbf{J}_0$ a nuestra solución; todavía habrá un número infinito de configuraciones de corriente estacionaria que podemos agregar a nuestra solución.

Finalmente, tenga en cuenta que la carga, la corriente y el campo magnético así definidos pueden no tener un comportamiento muy bueno si tenemos una función discontinua para $\mathbf{E}$ , como se eligió en la pregunta original. Por lo tanto, no corresponderán a campos bien definidos físicamente, pero pueden verse como el límite de alguna familia de configuraciones más realistas cuando algún parámetro llega a cero. Por ejemplo, la solución encontrada por Javier (que básicamente usa la construcción anterior para encontrar $\mathbf{J}$ , con $\mathbf{B}_0$ igual a cero) implica el límite de dos láminas de corriente infinitesimalmente delgadas con separación cero; podemos ver esto como un límite de dos capas cilíndricas gruesas de corriente separadas por una distancia finita, y luego tomar el grosor y la separación de la capa a cero simultáneamente (manteniendo constante la corriente por longitud de la capa).

-1. No estoy de acuerdo con tu primer párrafo. El método de las imágenes es un ejemplo en el que 2 distribuciones de carga diferentes producen el mismo potencial y, por lo tanto, los mismos campos. Entonces, un campo eléctrico dado no determina de manera única la distribución de carga.
@lobotomized_sheep_99: En una determinada región del espacio, conocer el campo eléctrico te permite decir cuál es la distribución de carga en esa región del espacio. Entonces, en el ejemplo de (digamos) una carga puntual sobre un plano conductor, sabiendo qué $\vec{E}(\vec{r})$ es para $\vec{r}$ arriba el avion te dice que $\rho(\vec{r})$ está por encima del avión. si no te digo que $\vec{E}$ está debajo del avión, entonces tienes razón en que $\rho$ debajo del plano no está determinado unívocamente; podría ser un conductor, o podría ser otra carga puntual. Editaré mi respuesta para aclarar esta distinción.
Debo agregar que para obtener el campo eléctrico de una carga puntual sobre un plano conductor, debe tener la carga puntual allí; no es el caso de que el campo sobre el plano sea producido únicamente por cargas inducidas en el plano conductor. Si congelara las cargas inducidas en su lugar y eliminara la carga puntual, tendría un campo eléctrico diferente sobre el avión.

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