Sobre la unicidad de la corriente de desplazamiento.

Question

Sobre la unicidad de la corriente de desplazamiento.

Anónimo

En la ecuación de Maxwell-Ampère, es decir:

\nabla \times \vec{B} = m_{0} \vec{j} + m_{0} ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t}

$\begin{equation} \nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{equation}$ el

{\vec{J}}_{d}

$\vec{J}_d$ término:

{\vec{j}}_{d} := ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t}

$\vec{J}_d := \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ se obtuvo tomando la divergencia del lado izquierdo de la ecuación. Explícitamente, antes de la adición de Maxwell del

{\vec{J}}_{d}

$\vec{J}_d$ La ley de Ampère era:

\nabla \times \vec{B} = μ_{0} \vec{J}

$\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J}$ , pero al actuar con

\nabla \cdot

$\nabla \cdot$ tuvimos:

0 \equiv \nabla \cdot (\nabla \times \vec{B}) = m_{0} \nabla \cdot \vec{j} = - m_{0} \frac{\partial ρ}{\partial t}

$0 \equiv \nabla \cdot \left(\nabla\times\vec{B}\right) = \mu_0 \nabla\cdot\vec{J} = -\mu_0 \frac{\partial \rho}{\partial t}$ desde el

div (curl ∙)

$\text{div}(\text{curl}\ \bullet)$ identidad y la ecuación de continuidad. Pero

\frac{\partial ρ}{\partial t}

$\frac{\partial \rho}{\partial t}$ no es necesariamente cero, por lo que debemos agregar un nuevo término, llamémoslo

{\vec{J}}_{d}

$\vec{J}_d$ . Y ahora viene mi pregunta. Nosotros necesitamos

{\vec{J}}_{d} : \nabla \cdot (\vec{J} + {\vec{J}}_{d}) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot {\vec{J}}_{d} = \frac{\partial ρ}{\partial t}

$\vec{J}_d : \nabla\cdot\left( \vec{J} + \vec{J}_d \right) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot \vec{J}_d = \frac{\partial \rho}{\partial t}$ . Y de hecho

{\vec{J}}_{d} = ϵ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ es una solución, pero para esta "prueba de la divergencia"

{\vec{j^{'}}}_{d} = ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} + \vec{k}

$\vec{J'}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \vec{k}$ dónde

\vec{k}

$\vec{k}$ es un vector constante, o incluso

{\vec{j^{″}}}_{d} = ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}

$\vec{J''}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}$ dónde

\vec{T}

$\vec{T}$ es cualquier vector, satisface

\nabla \cdot (\nabla \times {\vec{J}}_{d}) = 0

$\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{J}_d\right) = 0$ . ¿Por qué, entonces

{\vec{J}}_{d}

$\vec{J}_d$ tiene la forma que tiene y no alguna de las otras posibles soluciones presentadas anteriormente?

Gracias de antemano.

Emilio Pisanty

En esencia, por simplicidad; las ecuaciones completas de Maxwell se justifican en su mayoría a posteriori . Tenga en cuenta también que

\vec{T}

$\vec T$ tendría que depender de

\vec{E}

$\vec E$ y/o

\vec{J}

$\vec J$ , y debe ser un pseudovector (por lo que su rotacional será un vector), por lo que incluso los candidatos más simples posibles serán bastante complejos. Combinar cantidades existentes para obtener la dimensión física correcta también es bastante complicado. Postular una cantidad dinámica completamente nueva es un gran paso y solo lo hace una vez que ha agotado sus opciones. Dicho esto, estoy seguro de que esto se ha explorado y me interesaría saber qué resultó.

Emilio Pisanty

Sería útil, por cierto, agregar un signo de vector en la constante

\vec{k}

$\vec k$ , así que podemos dejar de discutir sobre si debería o no ser un vector, y centrarnos en el tema principal =).

Respuestas (4)

Sobre la unicidad de la corriente de desplazamiento.

En esencia, por simplicidad; las ecuaciones completas de Maxwell se justifican en su mayoría a posteriori . Tenga en cuenta también que $\vec T$ tendría que depender de $\vec E$ y/o $\vec J$ , y debe ser un pseudovector (por lo que su rotacional será un vector), por lo que incluso los candidatos más simples posibles serán bastante complejos. Combinar cantidades existentes para obtener la dimensión física correcta también es bastante complicado. Postular una cantidad dinámica completamente nueva es un gran paso y solo lo hace una vez que ha agotado sus opciones. Dicho esto, estoy seguro de que esto se ha explorado y me interesaría saber qué resultó.
Sería útil, por cierto, agregar un signo de vector en la constante $\vec k$ , así que podemos dejar de discutir sobre si debería o no ser un vector, y centrarnos en el tema principal =).

ProfRob · Answer 1

Pero seguramente esa no es la única limitación.

Si

{\vec{j^{'}}}_{d} = ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} + \vec{k}

$\vec{J'}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \vec{k}$ entonces

\nabla \times \vec{B} = m_{0} \vec{j} + m_{0} ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} + m_{0} \vec{k}

$\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu_0 \vec{k}$

Esto implica que incluso sin ningún campo eléctrico actual o dependiente del tiempo, existe un campo magnético no conservativo. Pero sin corrientes o campos eléctricos dependientes del tiempo, sabemos que el campo B no tiene rotaciones.

Brionio · Answer 2

En primer lugar, no se puede definir

{\vec{j^{'}}}_{d} = ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} + k

$\vec{J'}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + k$ porque estarías agregando un vector a un escalar, así que nos quedamos con tu segunda idea:

{\vec{j}}_{d} = ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}

$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}$

Si tomamos este como el valor de $\vec{J}_d$ , entonces la ley de Ampere se convierte en

\nabla \times \vec{B} = m_{0} \vec{j} + m_{0} ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}

$\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}$

Considere una circunstancia donde el campo eléctrico es constante ( $\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0$ ) y no hay corrientes ( $\vec{J} = 0$ ). La ley de Ampere modificada predice que

\nabla \times \vec{B} = \nabla \times \vec{T}

$\nabla\times\vec{B} = \nabla \times \vec{T}$

Pero experimentalmente, encontramos que en tales circunstancias, $\nabla \times \vec{B} = 0$ , por lo que concluimos que $\nabla \times \vec{T} = 0$

$\vec T$ podría depender de $\vec E$ y $\vec J$ aunque de tal manera que su rizo se desvanece en esas circunstancias.
Eso es cierto: en un sentido más general, la ley de Ampere se ha verificado en varias circunstancias (no solo en la que mencioné), y los datos no respaldan la existencia de la $\nabla \times \vec{T}$ término.
Estoy de acuerdo. Pero el argumento no es trivial, y el argumento del OP (presumiblemente hecho poco después de Maxwell) requiere una mirada experimental cercana a la ley de Ampère, que desafortunadamente no es muy fácil.
Estoy de acuerdo. No tengo ningún conocimiento específico de los esfuerzos experimentales para justificar $\nabla \times \vec{T} = 0$ , pero me gustaría saber acerca de ellos.

Javier · Answer 3

Las otras respuestas dicen algunas cosas interesantes sobre las consecuencias de este término, pero la principal razón por la que no está ahí es que todos los experimentos han confirmado las ecuaciones de Maxwell tal como las conocemos, y no hay evidencia de que sea necesaria una modificación.

Después de todo, las ecuaciones no son únicas: por ejemplo, podrían modificarse fácilmente para incluir monopolos magnéticos y se harían más simétricas. Pero nadie ha visto nunca un monopolo magnético, por lo que no aparecen en las ecuaciones de Maxwell.

Juan Duffield · Answer 4

Explícitamente, antes de la adición de Maxwell del $\vec{J}_d$ La ley de Ampere era: $\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J}$

Lo importante de entender con todo esto es que la ley de Ampere se trata de la corriente de conducción, y la corriente de conducción no es la única corriente . Echa un vistazo a Domar la luz a nanoescala :

"Mire a su alrededor y probablemente verá numerosos dispositivos electrónicos y ópticos, como teléfonos móviles, asistentes digitales personales, computadoras portátiles, televisores y cámaras digitales. Todos pueden hacer cosas diferentes, pero tienen una cosa en común: en los circuitos electrónicos que impulsan estos dispositivos, las partículas cargadas fluyen a través de los componentes e imparten energía a través de lo que se conoce como corriente de conducción. Pero, ¿es el movimiento de partículas cargadas la única corriente que tenemos disponible?"

La respuesta es no, porque también tenemos corriente de desplazamiento . Es "un campo eléctrico variable en el tiempo" , y eso es exactamente lo que vemos cuando pasa una onda electromagnética. No hay ninguna partícula cargada presente, pero la corriente de desplazamiento está presente y es alterna: la variación de campo aumenta hasta un máximo y luego vuelve a disminuir hasta cero. Tenga en cuenta que podríamos poner esta onda a través de la producción de pares , por lo que podemos convertir la corriente de desplazamiento en partículas cargadas. Luego, cuando los movemos, llamamos al fenómeno corriente de conducción. También tenga en cuenta que debido a esto, la corriente de desplazamiento es más fundamental que la corriente de conducción. Y que sabiendo todo esto queda claro que la versión original de la ley de Ampere no

"La ley de Ampère determina el campo magnético asociado con una corriente dada, o la corriente asociada con un campo magnético dado, siempre que el campo eléctrico no cambie con el tiempo".

¿Por qué, entonces $\vec{J}_d$ tiene la forma que tiene y no alguna de las otras posibles soluciones presentadas anteriormente?

Por lo que es la corriente de desplazamiento . Maxwell efectivamente trabajó al revés a partir del amperio y la corriente de conducción, y terminó diciendo que "la luz consiste en ondulaciones transversales en el mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos" . Cuando la gente lee esto, tiende a pensar en ondas E y B sinusoidales:

_{Imagen cortesía de Mathematica}

Sin embargo, eso tampoco va lo suficientemente lejos. Ver el artículo de radiación electromagnética de Wikipedia :

"Además, los campos lejanos E y B en el espacio libre, que como soluciones de onda dependen principalmente de estas dos ecuaciones de Maxwell, están en fase entre sí. Esto está garantizado ya que la solución de onda genérica es de primer orden tanto en el espacio como en el tiempo, y el operador rotacional en un lado de estas ecuaciones da como resultado derivadas espaciales de primer orden de la solución de onda, mientras que la derivada temporal en el otro lado de las ecuaciones, que da el otro campo, es de primer orden en el tiempo, lo que da como resultado la mismo cambio de fase para ambos campos en cada operación matemática".

E es la derivada espacial de la onda y B es la derivada temporal. Entonces, la onda real es la integral de las ondas sinusoidales E y B. Ilustraré esto con una analogía de la canoa: imagina que estás en una canoa cuando se acerca una ola* del océano de diez metros. Su canoa comienza a inclinarse hacia arriba, lentamente al principio, luego más rápido, luego la pendiente comienza a aplanarse y su canoa está momentáneamente horizontal en la parte superior de la ola. En este punto, la corriente de desplazamiento es máxima, en el punto medio de las ondas sinusoidales E y B. Luego se invierte el proceso, algo como esto:

La pendiente de su canoa denota E, y la tasa de cambio de la pendiente denota B. Una es la derivada espacial, la otra es la derivada temporal. La corriente de desplazamiento está representada por la corriente de agua que te levantó ↑ diez metros y luego te bajó ↓ de nuevo. Tiene naturaleza vectorial, y la |dirección| es la dirección de polarización. Lo escribimos como:

{\vec{j}}_{d} = ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t}

$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Agregar una k constante sería como repetir el escenario de la canoa en aguas más profundas. La ola tiene 10 m de altura, por lo que las aguas más profundas no alterarán la inclinación de la canoa ni la altura a la que llegues. No puede agregar algo a un lado de la expresión porque cada lado le informa sobre un aspecto de la ola y no puede cambiar un lado sin cambiar el otro.

^{* sin comedero}

Sobre la unicidad de la corriente de desplazamiento.

Anónimo

Emilio Pisanty

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Brionio

Emilio Pisanty

Brionio

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Javier

Juan Duffield

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