Energía potencial derivada parcial de la vibración 'libre'

Tengo esta pregunta bastante matemática sobre el cálculo de la derivada parcial de una función de energía potencial dada por:

tu ( X i ) = 1 2 ∑ i , j ∂ 2 tu ( 0 ) ∂ X i ∂ X j X i X j .
O si usamos b i j para la arpillera:
tu ( X i ) = 1 2 ∑ i , j b i j X i X j .

Quiero calcular la fuerza: k i = − ∂ tu ∂ X i . Esto debería ser − ∑ j b j i X j .

Mis preguntas:

  1. ¿Por qué la suma está sobre el índice? i ¿desaparecido?

  2. ¿Por qué son los índices de la arpillera b cambiado?

Espero que alguien pueda darme una respuesta. Puse esto en la sección de física porque es un problema de física, pero mi pregunta en realidad es puramente matemática.

Respuestas (1)

1.) La actuación del operador de diferenciación dará lugar a Kronecker-Deltas ya que

∂ X a ∂ X b = d a b Esto matará una suma.

Más específicamente: ∂ tu ∂ X a = − 1 / 2 ∑ i j b i j ( d a i X j + d a j X i ) = − 1 / 2 ( ∑ j b a j X j + ∑ i b i a X i ) = − ∑ j b a j X j . Cambia el nombre de j para que sea i y listo.

2.) La matriz Hessiana es una matriz de derivadas parciales de segundo orden; por lo tanto, es simétrica respecto a sus índices, es decir b i j = b j i .

Energía potencial derivada parcial de la vibración 'libre'
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