Derivación de I_d de un JFET autopolarizado

Encuentro que las derivaciones de fórmulas son mucho más útiles para mí que solo recitaciones de fórmulas. Estoy viendo un circuito JFET autopolarizado y estoy interesado en derivar el estado de reposo del circuito en condiciones de CC. Despreciando todos los componentes de CA del circuito, tengo una resistencia muy grande,$R_g$, entre puerta y tierra, y otra resistencia,$R_s$, desde la fuente hasta la tierra. El drenaje está conectado a$V_p$, mi fuente de alimentación.

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Creo que este es un circuito JFET bastante estándar. Entiendo cómo analizar el circuito. Lo que me interesa es la derivación de$I_{d}$. Esto se me da como$I_{d}=I_{dss} \left(1 - \frac{V_{gs}}{|V_p|)} \right) ^2$. Ninguno de los libros de texto que tengo en mi estantería entran en la derivación, ni mis búsquedas en Google. Lo más cercano que obtuve fue de un libro de texto que decía que el JFET es un componente de ley cuadrática, y esta relación es intrínseca al componente. no lo compro La transconductancia es intrínseca al componente. El flujo actual no lo es. ¿Alguien puede mostrarme cómo?$I_{d}$¿es derivado?

Editar: Lo siento, estaba pidiendo el parámetro incorrecto y también di la fórmula incorrecta. La pregunta está actualizada.

Editar: alguna discusión de Alfred Centauri me señaló en una buena dirección. He hecho un poco más de trabajo que traeré aquí. Se ha convertido en su mayoría en un problema de matemáticas, ahora.

Esencialmente, quiero derivar$I_d$basado en las propiedades intrínsecas de los componentes. La transconductancia es una propiedad de los JFET, así que comencé desde allí.

Sabiendo que$g_m = \frac{dI_d(V_{gs})}{dV_{gs}}=\frac{2I_{dss}}{|V_p|} \left(1-\frac{V_{gs}}{|V_p|} \right)$, puedo reorganizar y trabajar algunos cálculos, de la siguiente manera.

$$g_m = \frac{dI_d(V_{gs})}{dV_{gs}} \\ dI_d(V_{gs}) = g_mdV_{gs} \\ dI_d(V_{gs}) = \frac{2I_{dss}}{|V_p|} \left(1-\frac{V_{gs}}{|V_p|} \right) dV_{gs} \\ \int dI_d(V_{gs}) = \frac{2I_{dss}}{|V_p|} \int dV_{gs} - \frac{2I_{dss}}{|V_p|^2}\int V_{gs}dV_{gs} \\ I_d(V_{gs}) = \frac{2I_{dss}V_{gs}}{|V_p|} - \frac{I_{dss}V_{gs}^2}{|V_p|^2} + C$$

Podemos encontrar$C$como la conocemos$I_d = I_{dss}$en$V_{gs} = 0$

$$I_d(0) = \frac{2I_{dss}(0)}{|V_p|} - \frac{I_{dss}(0)^2}{|V_p|^2} + C \\ I_{dss} = C$$

Por lo tanto:

$$I_d(V_{gs}) = \frac{2I_{dss}V_{gs}}{|V_p|} - \frac{I_{dss}V_{gs}^2}{|V_p|^2} + I_{dss} \\ I_d(V_{gs}) = I_{dss}\left(1 + \frac{2V_{gs}}{|V_p|} - \frac{V_{gs}^2}{|V_p|^2} \right) \\ $$

Esto está muy cerca. mi objetivo es$I_{d}=I_{dss} \left(1 - \frac{V_{gs}}{|V_p|)} \right) ^2$. ¿Crees que puedo cambiar los signos de los términos convirtiendo el factor negativo en mis denominadores de valor absoluto?