¿Cuándo es útil la integración de Lebesgue sobre la integración de Riemann en física?

La integración de Riemann está bien para la física en general porque las funciones tratadas tienden a ser diferenciables y se comportan bien. A pesar de esto, es posible que la integración de Lebesque se pueda usar con más fuerza incluso en situaciones físicas que se pueden resolver mediante la integración de Riemann. Entonces mi pregunta es:

Al resolver problemas de física, ¿cuándo es útil la integración de Lebesque sobre la integración de Riemann?

Respuestas (3)

Un ejemplo importante en la mecánica cuántica es, por ejemplo, el espacio de Hilbert

H   =   L 2 ( R 3 )

de funciones de onda integrables del cuadrado de Lebesgue ψ en el espacio de posiciones R 3 . Las funciones integrables del cuadrado de Lebesgue (a diferencia de las funciones integrables del cuadrado de Riemann) son necesarias para completar el espacio de Hilbert con respecto a la norma del cuadrado.

| | ψ | | 2   :=   ∫ d 3 X   | ψ ( X ) | 2 .

Con respecto a la integridad, consulte también esta publicación de Phys.SE.

Para los físicos un poco oxidados en su análisis y que encuentran ese enlace wiki denso, agregaré: "completitud" significa que dada una secuencia de vectores (funciones cuadradas integrables de R 3 a C en nuestro caso) acercándose arbitrariamente entre sí, existe un límite al que se están acercando, y ese límite es en sí mismo en nuestro espacio. Así podemos escribir sumas infinitas y saber que estamos hablando de algo bien definido.

En teoría: las funciones integrables de Lebesgue forman un espacio de Banach, mientras que las funciones integrables de Riemann no lo hacen. Esto causa problemas en, por ejemplo, la mecánica cuántica si tratamos de trabajar con funciones integrables de Riemann en lugar de funciones integrables de Lebesgue...

(¡Queremos que las funciones formen un espacio de Banach para que podamos usar el álgebra lineal a la antigua para resolver problemas!)

¿Cuándo importa? Tomar

x q ( X ) = { 1 X ∈ q 0 o t h mi r w i s mi
Es integrable de Lebesgue pero no integrable de Riemann.

La integración de Riemann no puede ocurrir en intervalos infinitos, por ejemplo, ∫ 0 ∞ F ( X ) d X es ilegal para la integración de Riemann.

Por otra parte, s i norte C ( X ) es Riemann integrable pero no Lebesgue integrable.

Todas estas son afirmaciones de la teoría de la medida que son irrelevantes para las explicaciones físicas, pero de las que los matemáticos son conscientes. Como consecuencia...

En la práctica: para la física cotidiana, la "integración simbólica" que aprendes en cálculo está perfectamente bien. Incluso cuando los físicos dicen "Trabajamos con L 2 ( X ) ..." pensamos en la integración de la "manera simbólica".

Solo si trabaja para hacer que la ruta sea integral rigurosa, debe tener cuidado con "Lo que quiere decir con integración...".

no lo haría ∫ 0 ∞ F ( X ) d X ser definible como una integral de Riemann impropia, sin embargo, es decir límite a → ∞ ∫ 0 a F ( X ) d X , para una función razonable?
Para las "funciones más razonables" (por ejemplo, imponer continuidad o algo así), eso es cierto. Entonces, para responder a su pregunta, (a) para los teóricos de la medida, no; (b) para los físicos, sí. Es solo que... respondí como un teórico de la medida ya que es una pregunta teórica de la medida: S

Me gustaría señalar aquí también un ejemplo completamente práctico. También puede necesitar cambiar el orden de integración y suma, o integración y derivada en algunos cálculos, es decir, ∫ d X ∑ norte → ∑ norte ∫ d X , o ∫ d X ∂ / ∂ t → ∂ / ∂ t ∫ d X . Si bien este es un problema con la integración de Riemann, funciona para la integral de Lebesgue, bajo ciertas suposiciones que, en los sistemas físicos, generalmente se cumplen.

¿Cuándo es útil la integración de Lebesgue sobre la integración de Riemann en física?
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