Alcance máximo de un proyectil (lanzado desde una elevación) [cerrado]

Question

Alcance máximo de un proyectil (lanzado desde una elevación) [cerrado]

ryang

Si se lanza un proyectil a una velocidad $u$ desde una altura $H$ por encima del eje horizontal, $g$ es la aceleración de la gravedad y se ignora la resistencia del aire, su trayectoria es
$y = H + X broncearse θ - X^{2} \frac{gramo}{2 {tu}^{2}} (1 + {broncearse}^{2} θ),$ $y=H+x \tan θ-x^2\frac g{2u^2}\left(1+\tan ^2\theta\right),$ y su alcance máximo es $R_{máximo} = \frac{tu}{gramo} \sqrt{{tu}^{2} + 2 gramo H} .$ $R_{\max }=\frac ug\sqrt{u^2+2gH}.$

Me gustaría derivar lo anterior. $R_{\max},$ y esto es lo que he hecho:

sustituto $(x,y)=(R,0)$ en la ecuación de la trayectoria;
diferenciar el resultado con respecto a $\theta;$
sustituto $\left(R,\frac {\mathrm dR}{\mathrm d\theta}\right)=\left(R_{\max},0\right).$

Sin embargo, esto elimina $H$ y no conduce a la expresión deseada para $R_{\max }.$ Cómo derivar realmente lo anterior $R_{\max }?$

PD Este es el contexto; en lo anterior, he reemplazado todas las apariciones de $L$ abajo con $\frac{u^2}g$ .

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qmecanico

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Leongz · Answer 1

Como usted describió, sustituimos $y=0$ y $x=R$ en la ecuación de la trayectoria:

\begin{matrix} (1) & 0 = H + R broncearse θ - R^{2} \frac{gramo}{2 {tu}^{2}} {segundo}^{2} θ . \end{matrix}

$0=H+R\tan{\theta}-R^2\frac{g}{2u^2}\sec^2\theta.\tag{1}$ Entonces, diferenciando con respecto a

θ

$\theta$ y ajuste

\frac{d R}{d θ} = 0

$\frac{dR}{d\theta}=0$ :

0 = R_{metro a X} {segundo}^{2} θ - R_{metro a X}^{2} \frac{gramo}{2 {tu}^{2}} 2 {segundo}^{2} θ broncearse θ,

$0=R_{max}\sec^2\theta-R_{max}^2\frac{g}{2u^2}2\sec^2\theta\tan\theta,$ que simplifica a

\begin{matrix} (2) & R_{metro a X} = \frac{{tu}^{2}}{gramo} cuna θ . \end{matrix}

$R_{max}=\frac{u^2}{g}\cot\theta.\tag{2}$ Resolviendo

(1)

$(1)$ y

(2)

$(2)$ producirá las expresiones deseadas para

θ

$\theta$ y

R_{m a x}

$R_{max}$ .

¡Hermoso! ¡GRACIAS! PD. He limpiado esta página para hacerla más general y útil.

Hipergeométricox · Answer 2

Adaptando los conceptos de la pregunta y las soluciones aquí , tenemos

R_{máximo} = \frac{tu w}{gramo} = \frac{tu}{gramo} \sqrt{{tu}^{2} + 2 gramo H}

$R_\text{max}=\frac {uw}g=\color{red}{\frac ug\sqrt{u^2+2gH}}$ y

broncearse θ^{*} = \frac{ℓ - H}{\sqrt{ℓ^{2} - H^{2}}} = \frac{\frac{{tu}^{2}}{gramo}}{\frac{tu}{gramo} \sqrt{{tu}^{2} + 2 gramo H}} = \frac{tu}{\sqrt{{tu}^{2} + 2 gramo H}}

$\tan\theta^*=\frac {\ell-H}{\sqrt{\ell^2-H^2}} =\frac {\frac {u^2}g}{\frac ug \sqrt{u^2+2gH}}=\color{red}{\frac u{\sqrt{u^2+2gH}}}$ dónde

ℓ

$\ell$ es la distancia lineal entre los puntos de lanzamiento y finalización del proyectil.

Apéndice:

Aquí $\tan\theta^*$ se derivó usando $\theta^*=\frac \pi 4+\frac\alpha 2$ , lo que lleva a

broncearse θ^{*} = \frac{1 + pecado α}{porque α} = \frac{ℓ (1 + pecado α)}{ℓ porque α} = \frac{ℓ - H}{R_{máximo}}

$\tan\theta^*=\frac {1+\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac {\ell (1+\sin\alpha)}{\ell\cos\alpha}=\frac{\ell -H}{R_{\text{max}}}$ como

α

$\alpha$ es negativo en este caso.

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