Un problema de cuerpo en caída libre, solo se conoce la distancia y el tiempo parciales

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Un problema de cuerpo en caída libre, solo se conoce la distancia y el tiempo parciales

Eulster

Bueno, he estado tratando de resolver un problema que me impuse, por lo que no se incluyen valores literales. Desafortunadamente, mi cerebro no está cooperando.

El problema dice:

¿Cuál es la altura desde la que se dejó caer un objeto si viajó el último $x$ unidades de distancia en $t_x$ unidades de tiempo?

Los valores y unidades específicos no son importantes. Es solo un problema de pensamiento, por el bien de eso.

Estaba pensando a lo largo de las líneas:

la altura total seria $h_0$ y el tiempo total seria $t_0$ . La ecuación de la altura se puede obtener como una integración indefinida de la función $v(t)$ oa través de canales más comunes que hacen lo mismo.

$h_0 = \frac{gt_0^2}{2}$ (1)

Correcto, eso está claro. Esto también es cierto:

$h_0 = h + x$ (2)

$t_0 = t + t_x$ (3)

Lo que nos permite reformular la ecuación (1) como:

$h+x= \frac{g}{2}(t+t_x)^2$

Ahora conocemos los valores de $x$ y $t_x$ y el valor de la aceleración gravitacional, $g= ~9.80665$ $m/s^2$

Todo lo que queda es $h$ y $t$ y simplemente no puedo expresarlo, todo lo que trato de hacer no me da una idea de sus valores. ¿Está el sistema de ecuaciones sub-restringido? Realmente agradecería alguna idea, incluso si es solo para mostrar el error de mis caminos.

Pido disculpas por no consultar libros de texto y otros materiales, tengo la tendencia de intentar descubrir cosas por mi cuenta, si puedo, por supuesto.

david z

¡Hola, Eulster, y bienvenido a Physics Stack Exchange! Buena pregunta :-)

Respuestas (3)

Un problema de cuerpo en caída libre, solo se conoce la distancia y el tiempo parciales

¡Hola, Eulster, y bienvenido a Physics Stack Exchange! Buena pregunta :-)

Manishearth · Answer 1

Manishearth

Necesitas una ecuación más, preferiblemente relacionada $h$ y $t$ . Piénsalo. ¿Qué ecuación relaciona los dos? Tenga en cuenta que $h$ y $t$ son respectivamente la altura y el tiempo recorrido en el tiempo previo (sin incluir) el tiempo en el que viaja el último $x$ unidades.

Eulster

El obvio es

h = \frac{g t^{2}}{2}

$h = \frac{gt^2}{2}$ , pero eso no me da nada útil, por desgracia.

Manishearth

@Eulster Ese es exactamente al que me refería... ¿Por qué no? Sustituye el valor por

h

$h$ en esas ecuaciones; resolver la cuadrática para obtener

t

$t$ . Ahora sustituya hacia atrás para obtener

h

$h$ . Volver sustituto para obtener

h_{0}, t_{0}

$h_0,t_0$ . ¡Hecho!

Manishearth

Sí, está el temido "resuelve la cuadrática". Odio cuando aparece eso =P.

Eulster

Ahahah, en realidad lo descarté, no estoy seguro de por qué... Aquí está, resuelto por

t

$t$ y

h

$h$ :

t = \frac{2 x}{g t_{x}} - t_{x}

$t = \frac{2x}{g t_x} - t_x$

h = \frac{g}{2} (\frac{2 x}{g t_{x}} - t_{x})^{2}

$h = \frac{g}{2}(\frac{2x}{g t_x} - t_x)^2$

Manishearth

A mi tambien me pasa ;p. De todos modos, ¡buena suerte con tus incursiones en el emocionante e impredecible mundo de la física! :D

Eulster

Desafortunadamente, cometí un error entusiasta mientras trabajaba en ello... Usar gt^2/2 para cualquier cosa en realidad pone a cero la ecuación. Maldita sea :D

cuchillos · Answer 2

Sé que ha pasado un tiempo y no sé si a OP le importa, pero aquí está mi intento de ayudar. Tenemos

h + X = \frac{gramo}{2} (t + t_{X})^{2}

$h+x=\frac{g}{2}(t+t_x)^2$ ahora insertando

t = \pm \sqrt{\frac{2 h}{gramo}}

$t=\pm \sqrt{\frac{2h}{g}}$ para

t

$t$ y elevando al cuadrado obtenemos

h + X = \frac{gramo}{2} (\frac{2 h}{gramo} \pm 2 t_{X} \sqrt{\frac{2 h}{gramo}} + t_{X}^{2})

$h+x=\frac{g}{2}\left( \frac{2h}{g}\pm 2t_x \sqrt{\frac{2h}{g}} +t_{x}^{2} \right)$ Ahora

X = \pm t_{X} \sqrt{2 gramo h} + \frac{gramo t_{X}^{2}}{2} ⟹ \frac{1}{2 t_{X}^{2} gramo} {(X - \frac{gramo t_{X}^{2}}{2})}^{2} = h

$x=\pm t_x \sqrt{2gh}+\frac{g t_{x}^{2}}{2}\implies \frac{1}{2t_{x}^{2}g}\left( x-\frac{gt_{x}^{2}}{2} \right)^2=h$ Ahora

h_{0} = h + X ⟹ h_{0} = \frac{X^{2}}{2 t_{X}^{2} gramo} + \frac{X}{2} + \frac{t_{X}^{2} gramo}{8}

$h_0=h+x\implies h_0=\frac{x^2}{2t_{x}^{2}g}+\frac{x}{2}+\frac{t_{x}^{2}g}{8}$ Si no me tropecé con el álgebra/aritmética básica, creo que esto es lo que quieres.

Espero que esto ayude.

Trate de no dar soluciones completas a las preguntas de la tarea, solo sugerencias. meta.física.stackexchange.com/questions/714/…
@RonMaimon: ¿me está diciendo que esto no es típico de lo que suelen obtener los estudiantes de física de primer año?
@JerrySchirmer: Desafortunadamente, está más allá del nivel de creatividad de los escritores de libros de texto. Superficialmente parece una pregunta de tarea, pero las limitaciones no son naturales y es poco probable que se hayan tropezado en un libro de primaria. Como típico problema autoconstruido, la solución no está limpia como un libro de texto.

Ron Maimón · Answer 3

La razón por la que te confundes es porque estás pensando mal en todo esto y estás haciendo una sopa de letras. Estos son los principales problemas para los estudiantes de primaria, y hay dos cambios filosóficos simples que harán que estos problemas desaparezcan.

Primero: en física, no está buscando muchas "ecuaciones" que relacionen los valores en algún problema inventado. Esto es lo que haces en las clases de física , pero no es el programa de física. ¡En física, estás buscando una imagen completa del movimiento! ¡ Quieres saber todo lo que hay que saber ! En este caso, desea saber dónde está la partícula en todo momento . Esto es lo primero que encuentras, y lo escribes como

X (t) = \frac{gramo t^{2}}{2}

$x(t) = {g t^2\over 2}$

Eso es todo para la física, todo se deriva de esto y las matemáticas, ya que esto te cuenta toda la historia de la caída.

Conoces dos puntos en la trayectoria:

h = \frac{gramo t^{2}}{2}

$h= {gt^2\over 2}$

h + X = \frac{gramo (t + t_{X})^{2}}{2}

$h+x = {g(t+t_x)^2\over 2}$

Conoces g,x,t_x y quieres encontrar h y t. Para hacer esto, debes deshacerte de los símbolos estúpidos en la medida de lo posible, mediante una buena elección de las unidades ( siempre , siempre haz esto, te muestra el problema matemático idealizado, y nunca se enseña en la escuela, de hecho , en la escuela te dicen lo contrario--- mantener los símbolos alrededor para mantener la consistencia dimensional--- esto es lo contrario de enseñar, es enseñar incompetencia): En este caso, establezca unidades de tiempo y espacio de modo que g=2 y t_x=1, y encuentras

h = t^{2}

$h = t^2$

h + X = (t + 1)^{2}

$h+x = (t+1)^2$

Ahora quieres resolver para t y h. Multiplique la segunda ecuación, sustituyendo la primera relación

h + X = h + 2 t + 1

$h+x = h + 2t + 1$

y encuentras t:

t = \frac{X - 1}{2}

$t= {x-1\over 2}$

y

h = \frac{(X - 1)^{2}}{4}

$h = {(x-1)^2\over 4}$ .

A continuación, crea la forma dimensionalmente correcta, ya sea pensando en cuáles deben ser sus unidades o rehaciendo el problema con las tontas letras adicionales (ahora que sabe lo que está haciendo). El resultado es

h = \frac{gramo}{2} (\frac{X}{gramo t_{X}} - \frac{t_{X}}{2})^{2}

$h = {g\over 2} ( {x\over gt_x} - {t_x\over 2})^2$

Y debido a que primero resuelve el problema con constantes establecidas en 1, ahora puede ver a través de los símbolos estúpidos, g y t_x, la relación principal. Siempre haga esto, y nunca más se quedará perplejo por un problema elemental.

Me encantaría verte intentar enseñar una clase de estudiantes de primer año de esta manera.
@JerrySchirmer: Solo di un puñado de conferencias, nunca para estudiantes universitarios, pero hice secciones de problemas regulares sobre mecánica y electromagnetismo hace años, y siempre hice las cosas de esta manera. Por lo general, es razonablemente efectivo explicar las cosas correctamente, aunque debe prepararse con cuidado porque la notación será diferente de las notas de clase. Obtuve calificaciones bastante altas de los estudiantes, al menos en mi memoria, y un compañero (un tipo muy agradable) dijo que mi sección era más informativa para su experiencia universitaria y dijo "gracias" (los TA no entienden esto mucho) . Por extraño que parezca, esto fue gratificante.
... lo que hace es dirigir sus simpatías hacia los estudiantes, lejos del libro incompetente y, por lo general, de las conferencias incompetentes. Entonces te conviertes en lo que el curso de capacitación de TA llama un TA "organizador sindical", donde luchas del lado de tus estudiantes contra el sistema malvado y corrupto. El curso de capacitación advirtió en términos fuertes en contra de esto, pero nunca vi un inconveniente real en esto para los estudiantes, solo para el TA. Su relación con sus colegas educadores tiende a sufrir. Así que no escuché, y siempre fui un "organizador sindical" consciente.

Un problema de cuerpo en caída libre, solo se conoce la distancia y el tiempo parciales

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