¿Existe una distribución de carga de tamaño finito cuyo campo eléctrico sea exactamente el de un dipolo puntual?

Question

¿Existe una distribución de carga de tamaño finito cuyo campo eléctrico sea exactamente el de un dipolo puntual?

Emilio Pisanty

Esto se pierde un poco en la narración cuando se introducen los dipolos eléctricos en los libros de texto, y termina causando mucha confusión (como en, por ejemplo, este ejemplo reciente). Los dipolos eléctricos puntuales y los campos eléctricos que producen se presentan con mayor frecuencia en los libros de texto como el límite de dos cargas. $\pm q$ una distancia $d$ aparte, en el límite donde $d\to0$ mientras enviaba $q\to\infty$ de tal manera que se mantenga $p=qd$ constante. Esta presentación, sin embargo, puede hacer que varios aspectos sean muy confusos: ¿es este un campo físico, o solo una construcción matemática, o solo una aproximación? ¿Qué pasa con ese límite y cómo se implementa eso? $q\to\infty$ ¿poco? Más importante aún, ¿por qué hacer algo de esto?

Como resultado, los dipolos puntuales a menudo pueden ser objetivos bastante difíciles de entender, y esto a menudo se ve agravado por el hecho de que generalmente solo se usan como límites o como aproximaciones, y nunca con una credibilidad real solo por sí mismos. Con esto en mente, entonces:

¿Existen distribuciones de carga físicas razonables con un tamaño finito y sin singularidades (más allá de las posibles cargas puntuales) que producen un campo eléctrico que es exactamente igual al campo de un dipolo puntual, sin ningún problema con límites o aproximaciones ni nada?

Respuestas (1)

¿Existe una distribución de carga de tamaño finito cuyo campo eléctrico sea *exactamente* el de un dipolo puntual?

Emilio Pisanty · Answer 1

Sí, esto es perfectamente posible.

La forma de hacerlo es eligiendo una distribución de carga que sea 'completamente dipolar' en algún sentido adecuado, y esto producirá un campo eléctrico que también es un dipolo puro. En términos más técnicos, todo lo que necesita hacer es usar una distribución de carga con una dependencia angular separable (es decir, $\rho(\mathbf r) = f(r) g(\theta,\phi)$ ) y luego ajuste esa dependencia angular a un armónico esférico adecuado .

El ejemplo más simple de esto es una distribución de carga superficial distribuida sobre una esfera, de radio $a$ , digamos, que tiene una dependencia dipolar, es decir, la densidad de carga superficial simple como el día

σ (θ, ϕ) = σ_{0} porque (θ),

$\sigma(\theta,\phi) = \sigma_0 \cos(\theta),$ que se parece a la imagen de abajo, donde el rojo es positivo y el azul es negativo, y las líneas de malla más oscuras son contornos separados por constantes

gráficos matemáticos

(También soy parcial a las cargas gaussianas dipolares, con la densidad de carga de volumen $\rho(\mathbf r) = A\, z\, e^{-r^2/a^2}$ , pero con ese, la carga nunca es completamente cero cuando está lejos del sistema).

Una vez que decide observar esta distribución de carga, suceden dos cosas buenas principales:

El campo eléctrico fuera de la esfera es exactamente el de un dipolo puntual puro, y
el campo eléctrico dentro de la esfera es exactamente uniforme.

Esto se puede mostrar a través de unos simples pasos:

El campo eléctrico punto-dipolo ${mi}_{o tu t} (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{3 (pag \cdot \hat{r}) \hat{r} - pag}{r^{3}}$ $\mathbf E_\mathrm{out}(\mathbf r) = {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{r^{3}}$ es un campo eléctrico válido (conservador y solución de la ecuación de Laplace) cuando se aleja de la frontera.
El campo eléctrico uniforme $\mathbf E_\mathrm{in} (\mathbf r) = \mathbf E_0$ es obviamente un campo eléctrico válido dentro de la esfera.

Damos estos dos por sentado (aunque si es necesario, se pueden verificar por diferenciación directa), y esto significa que para mostrar que los campos como se afirma anteriormente corresponden a nuestra densidad de superficie, solo necesitamos mostrar que obedecen a la coincidencia correcta en el límite. . Así, tenemos

Los dos campos coinciden de manera conservadora en el límite, es decir, sus componentes normales a la superficie son iguales (por lo que no se puede recolectar energía libre haciendo pequeños bucles alrededor de la superficie). Para mostrar esto, tenemos
$\hat{θ} \cdot {mi}_{i norte} (r) = \hat{θ} \cdot {mi}_{0} = \hat{θ} \cdot \hat{z} {mi}_{0} = {mi}_{0} a pecado (θ),$ $\hat{\boldsymbol \theta}\cdot \mathbf E_\mathrm{in}(\mathbf r) = \hat{\boldsymbol \theta}\cdot \mathbf E_0 = \hat{\boldsymbol \theta}\cdot \hat{\mathbf z}E_0 = E_0 a \sin(\theta),$ donde la componente azimutal a lo largo $\hat{\boldsymbol \phi}$ es en ambos casos obviamente cero, y $\begin{aligned} \hat{θ} \cdot {mi}_{o tu t} (r) & = \hat{θ} \cdot \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{3 (pag \cdot \hat{r}) \hat{r} - pag}{r^{3}} \\ = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{\hat{θ} \cdot \hat{z} pag}{a^{3}} \\ = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{pag pecado (θ)}{a^{3}} \end{aligned}$ $\begin{align} \hat{\boldsymbol \theta}\cdot \mathbf E_\mathrm{out}(\mathbf r) &= \hat{\boldsymbol \theta}\cdot {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{r^{3}} \\&= -\frac {1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\hat{\boldsymbol \theta}\cdot\hat{\mathbf z}p }{a^{3}} \\&= -\frac {1}{4\pi \epsilon_0}\frac{p \sin(\theta) }{a^{3}} \end{align}$ Dado que la dependencia angular coincide, todo lo que tenemos que hacer es establecer $E_0 = -p/ 4\pi\epsilon_0a^4$ .

Además, ahora es un buen momento para calcular el momento dipolar en términos de la densidad de carga superficial: el $x$ y $y$ componentes desaparecen por simetría, y el componente axial da
$\begin{aligned} {pag}_{z} & = \int z σ (θ, ϕ) d A = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} a porque (θ) σ_{0} porque (θ) a^{2} pecado (θ) d ϕ d θ \\ = 2 π a^{3} σ_{0} \int_{0}^{π} {porque}^{2} (θ) pecado (θ) d θ = 2 π a^{3} σ_{0} \int_{- 1}^{1} {tu}^{2} d tu \\ = \frac{4 π}{3} a^{3} σ_{0} . \end{aligned}$ $\begin{align} p_z &= \int z \sigma(\theta,\phi) \mathrm dA = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} a\cos(\theta) \sigma_0\cos(\theta) a^2 \sin(\theta) \mathrm d\phi \mathrm d\theta \\&= 2\pi a^3\sigma_0\int_0^{\pi} \cos^2(\theta) \sin(\theta)\mathrm d\theta = 2\pi a^3\sigma_0\int_{-1}^{1} u^2 \mathrm du \\&= \frac{4\pi}{3} a^3\sigma_0 . \end{align}$
Los componentes normales de los campos difieren por la densidad de carga de la superficie (o, en términos más simples, si se acerca lo suficiente, la densidad de carga de la superficie funciona como un plano infinito de carga, empujando el campo eléctrico por $\sigma/2\epsilon_0$ lejos de él en cualquier dirección). Para ver esto, calculamos
$\hat{r} \cdot {mi}_{i norte} (r) = \hat{r} \cdot {mi}_{0} = \hat{r} \cdot \hat{z} {mi}_{0} = {mi}_{0} a porque (θ)$ $\hat{\mathbf r}\cdot \mathbf E_\mathrm{in}(\mathbf r) = \hat{\mathbf r}\cdot \mathbf E_0 = \hat{\mathbf r}\cdot \hat{\mathbf z}E_0 = E_0 a \cos(\theta)$ y $\begin{aligned} \hat{r} \cdot {mi}_{o tu t} (r) & = \hat{r} \cdot \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{3 (pag \cdot \hat{r}) \hat{r} - pag}{r^{3}} \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{2 pag \cdot \hat{r}}{a^{3}} \\ = \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \frac{pag porque (θ)}{a^{3}}, \end{aligned}$ $\begin{align} \hat{\mathbf r}\cdot \mathbf E_\mathrm{out}(\mathbf r) &= \hat{\mathbf r}\cdot {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{r^{3}} \\&= {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\frac {2\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{a^{3}} \\&= {\frac {1}{2\pi \epsilon _{0}}}\frac {p\cos(\theta)}{a^{3}}, \end{align}$ y lo confirmamos $\hat{\mathbf r}\cdot \mathbf E_\mathrm{out}(\mathbf r)- \hat{\mathbf r}\cdot \mathbf E_\mathrm{in}(\mathbf r) =\frac{1}{\epsilon_0}\sigma(\theta,\phi)$ , donde tenemos $\begin{aligned} \hat{r} \cdot {mi}_{o tu t} (r) - \hat{r} \cdot {mi}_{i norte} (r) & = \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \frac{pag porque (θ)}{a^{3}} - {mi}_{0} a porque (θ) \\ = (\frac{pag}{2 π ϵ_{0} a^{4}} - {mi}_{0}) a porque (θ) \\ = (\frac{pag}{2 π ϵ_{0} a^{4}} + \frac{pag}{4 π ϵ_{0} a^{4}}) a porque (θ) \\ = \frac{3 pag}{4 π ϵ_{0} a^{3}} porque (θ) \\ = \frac{1}{ϵ_{0}} σ (θ, ϕ) . \end{aligned}$ $\begin{align} \hat{\mathbf r}\cdot \mathbf E_\mathrm{out}(\mathbf r)-\hat{\mathbf r}\cdot \mathbf E_\mathrm{in}(\mathbf r) & = {\frac {1}{2\pi \epsilon _{0}}}\frac {p\cos(\theta)}{a^{3}}-E_0 a \cos(\theta) \\ & = \left(\frac {p}{2\pi \epsilon_0a^4}- E_0\right)a \cos(\theta) \\ & = \left(\frac {p}{2\pi \epsilon_0a^4}+\frac {p}{4\pi \epsilon_0a^4}\right)a \cos(\theta) \\ & = \frac {3p}{4\pi \epsilon_0a^3}\cos(\theta) \\ & = \frac{1}{\epsilon_0}\sigma(\theta,\phi). \end{align}$

Por lo tanto, dado que los campos eléctricos dados son soluciones completas en todas partes para esta distribución de carga, son los campos que genera.

El texto anterior tiene un poco más de detalle de lo estrictamente necesario, con el fin de proporcionar un recurso esencialmente autónomo, pero ¿qué aprendimos? Bueno, muestra que siempre que a uno le molesta la presencia de un campo dipolar puntual

{mi}_{o tu t} (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{3 (pag \cdot \hat{r}) \hat{r} - pag}{r^{3}},

$\mathbf E_\mathrm{out}(\mathbf r) = {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{r^{3}},$ uno siempre puede conceptualizarlo como proveniente de esta densidad de carga, y todas las cuestiones conceptuales desaparecen, sin necesidad de límites engañosos o aproximaciones poco claras.

Además, el método se extiende directamente a cualquier multipolaridad arbitraria: ¿quieres conceptualizar cuadrupolos u octupolos? No hay problema, simplemente coloque un armónico sólido apropiado como su $\sigma(\theta,\phi)$ , y automáticamente tendrá una densidad de carga que produce el campo multipolar relevante. Además, este método se extiende hasta los hexadecapolos más allá (¿como se muestra en el potencial de Hexadecapole utilizando partículas puntuales? ) donde métodos como los hipercubos de carga puntual fallan.

^{El código de Mathematica utilizado para producir la imagen en esta respuesta está disponible a través de Import["http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m"]["http://i.stack.imgur.com/IsKL8.png"].}

Se podría argumentar que el uso de una carga de superficie califica como "negocios con límites o aproximaciones", ya que $\rho(\vec{r})$ es básicamente infinito en la superficie. Todavía está bien definido en un sentido de distribución, que es todo lo que técnicamente necesitamos para obtener soluciones para los campos y potenciales, pero requiere un poco más de esfuerzo para hacerlo riguroso. Sería bueno ver una densidad de carga de volumen real $\rho(\vec{r})$ que crea un campo dipolar externo; Sospecho que una serie de caparazones concéntricos con esta distribución de carga haría el truco.
@MichaelSeifert de hecho lo hace, cualquiera $\rho(\vec r)$ cuya dependencia angular en fijo $r$ es estrictamente dipolar producirá un potencial estrictamente dipolar, independientemente del perfil radial (y diablos, ni siquiera necesita alinear los dipolos de cada capa). Pero también, si va a cuestionar la posibilidad de capas superficiales de carga pero está de acuerdo con un volumétrico $\rho(\vec r)$ , entonces le preguntaría por qué está tan seguro de que puede ejecutar eso $\rho(\vec r)$ con fidelidad exacta, y (dado que los electrones son cargas puntuales) lo que incluso significa.

¿Existe una distribución de carga de tamaño finito cuyo campo eléctrico sea exactamente el de un dipolo puntual?

Emilio Pisanty

Respuestas (1)

Emilio Pisanty

Sí, esto es perfectamente posible.

Michael Seifert

Emilio Pisanty

Campo eléctrico en el espacio creado por la intersección de esferas de carga [cerrado]

Derivación general de la energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico externo

Fuerza de carga puntual en dipolo perfecto

¿Cómo puede el aserrín hacer esto en un campo eléctrico?

Movimiento de un dipolo en un campo eléctrico.

¿Por qué la fuerza del campo eléctrico para un dipolo es 1/r31/r31/r^3? [duplicar]

Energía eléctrica del momento dipolar

¿Por qué el campo eléctrico de un dipolo no tiene componente xxx?

¿Cuál es el origen del término delta de Dirac en el campo eléctrico del dipolo?

¿Son las líneas de campo eléctrico axial de un dipolo las únicas que se extienden hasta el infinito?