Flujo a través del lado de un cubo

Al contrario de lo que dice queueoverflow, en realidad no necesita realizar ninguna integración aquí; un buen argumento de simetría te dará la respuesta.

Deje que el cubo que estamos considerando en el problema tenga una longitud de lado$\ell$.

El truco es considerar poner la carga en el centro de un cubo imaginario de longitud de lado$2\ell$. El flujo a través de la superficie de este cubo es justo$q/\epsilon_0$por la Ley de Gauss ya que es una superficie cerrada que contiene la carga. Ahora imagina dividir cada cara de este cubo más grande en cuatro cuadrados de longitud lateral$\ell$. Por simetría, el flujo a través de cada uno de estos cuadrados es el mismo, pero hay un total de 24 de esos cuadrados ya que hay seis caras, por lo que el flujo a través de cada uno de estos cuadrados es$q/(24\epsilon_0$).

Ahora, simplemente observe que si tuviéramos que cortar el cubo más grande en ocho cubos de longitud lateral$\ell$, entonces cada uno de estos cuadrados mencionados en el último párrafo sería una cara de uno de estos cubos en los que la carga está en una esquina. QED.

Con respecto a tu confusión. Observe que una gran parte del flujo proveniente de la carga ni siquiera pasa a través de las caras del cubo cuando la carga está en su esquina. Solo una octava parte de su flujo total pasa por las caras del cubo, como se ilustra en el argumento anterior. Entonces, cada una de las tres caras opuestas a la carga recibe un tercio de este flujo porque las otras tres caras al lado de la carga son paralelas al campo eléctrico, por lo que no hay flujo a través de ellas.

Tuve un argumento similar que también falló, curiosamente:

En el cubo que se muestra, los tres lados que tocan la carga no aportan flujo porque el campo eléctrico es paralelo a la superficie. Los otros 3 están simétricamente opuestos a la carga, por lo que contribuyen de la misma manera al flujo. Por lo tanto, el flujo total es 3 veces el flujo del lado deseado y se obtiene

$$\begin{equation} \frac{1}{3} \frac{q}{\epsilon_0} \end{equation}$$

El problema con este argumento es sutil: ¿la carga cuenta como "cerrada" o no, ya que está en el límite? Una mirada más cercana al teorema de la divergencia especifica que el campo vectorial$\vec{E}$tendría que ser diferenciablemente continua para que el teorema funcione, pero hay una discontinuidad en$r=0$, por lo que el uso de la Ley de Gauss ni siquiera es legítimo, matemáticamente hablando. Solo puedo ver el "$2l$" el argumento funciona porque al menos la discontinuidad no está en el límite. No conozco ninguna resolución legítima para esto y me gustaría escucharla.

En general, el flujo a través de una superficie abierta o cerrada orientada$\:\mathrm{S}\:$debido a una carga puntual$\:Q\:$es

$$\begin{equation} \Phi_{\mathrm{S}}=\dfrac{\Theta}{4\pi}\dfrac{Q}{\epsilon_{0}} \tag{01} \end{equation}$$ dónde$\:\Theta\:$el ángulo sólido por el cual la carga$\:Q\:$ve la superficie. En nuestro caso este ángulo sólido es$\:\pi/6\:$, como se demuestra en las figuras, entonces
$$\begin{equation} \Phi_{\mathrm{S}}=\dfrac{\pi/6}{4\pi}\dfrac{Q}{\epsilon_{0}}=\dfrac{1}{24}\dfrac{Q}{\epsilon_{0}} \tag{02} \end{equation}$$

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