La dilatación del tiempo GR solo se preocupa por la curvatura local, ¿verdad?

No es suficiente tener un espacio-tiempo plano.

Por ejemplo, si tuviera una región de espacio-tiempo plano, podría colocar una capa esférica de materia alrededor de una persona sentada en la sección plana. Se dilatarán en el tiempo porque observarán que el resto del universo se acelera a medida que la esfera se coloca a su alrededor. Pero el espacio-tiempo permanecerá plano justo cerca de ellos. De hecho, una persona sentada cerca en la región anteriormente plana ahora estará en una región curva debido al caparazón colocado alrededor de esa primera persona y ellos, la persona fuera del caparazón envejecerá más rápido que la persona dentro del caparazón.

Por lo tanto, hacer que tu espacio sea localmente plano no es relevante en absoluto, podrías envejecer más lento que alguien mientras estás en una región plana (por ejemplo, si hay masa a tu alrededor) o podrías envejecer más rápido que alguien (si están cerca de algún asunto).

Una regla general es que cerca de los cuerpos envejeces más lento y que disparar cohetes te hace envejecer más lento. Si quieres envejecer más rápido que otra persona, trata de acercarlos a los cuerpos e intenta que aceleren.

Si alguien te dice que coloques algo de masa cerca de ti para que envejezcas más rápido, eso está mal, casi todas las masas de tamaño regular en el sistema solar son campos débiles, lo que significa que la dilatación del tiempo es el efecto de la gravedad newtoniana, por lo que colocar masa cerca de ti solo te baja. potencial newtoniano, por lo tanto, te hace envejecer más lentamente.

Pero vayamos a la clave. La dilatación del tiempo siempre es relativa a algo. Cuando una masa se coloca más cerca de ti, tu reloj funciona más lento de lo que solía hacerlo. Pero en una región plana, tú y todas las cosas que te rodean envejecen con la misma lentitud, por lo que no te das cuenta hasta que te comparas con otras cosas que están lejos.

Hay dos nociones diferentes de dilatación del tiempo. Ambos se refieren a las discrepancias entre las mediciones de tiempo entre diferentes observadores que están alejados entre sí y se señalan entre sí, o que comparan relojes en el punto final de un viaje después de haberlo hecho comenzando en el mismo punto pero tomando diferentes caminos a través del espacio-tiempo. Como tal, ambas formas de dilatación del tiempo involucran regiones de espacio-tiempo de medida distinta de cero y, por lo tanto, no son locales en la medida en que dependen de los detalles de la "forma" del espacio-tiempo en una región no infinitesimal.

Uno surge en un espacio plano y no tiene nada que ver con la curvatura. La otra noción surge de la desviación del espacio-tiempo de la planitud y, por lo tanto, podría decirse que está definida por la curvatura. Sin embargo, depende de los detalles de la curvatura sobre una región no infinitesimal distinta de cero que separa a dos observadores remotos. Por lo tanto, también es un concepto no local.

Curvatura

Comencemos con la curvatura. A diferencia de la dilatación del tiempo, es una noción local y se puede definir en un punto siempre que sepamos cómo calcular las geodésicas (líneas de distancia mínima o más rectas) entre cada par de puntos en una vecindad (es decir, la noción topológica ) no no importa cuán pequeño sea este vecindario . La curvatura mide cómo un vector, cuando se transporta en paralelo alrededor de un pequeño bucle cerrado, se diferencia de sí mismo cuando vuelve al principio. Si$X$y$Y$definir un paralelogramo infinitesimal, la curvatura$R(X,\,Y)$es una transformación que determina cómo un vector transportado$Z$cambia cuando atraviesa el paralelogramo de modo que, en el recorrido,$Z\mapsto(\mathrm{id}+R(X,\,Y))\,Z$(pensar en$R(X,\,Y)$como matriz aquí transformándose$Z$de modo que$R(X,\,Y))\,Z$es la desviación de la independencia de la ruta para el transporte paralelo ).

Dilatación Gravitacional del Tiempo

La dilatación del tiempo gravitacional se refiere a cómo diferentes observadores con relojes inicialmente sincronizados cronometrarán las cosas de manera diferente cuando se vuelvan distantes entre sí. La dilatación total depende de los detalles de toda la variedad de espacio-tiempo que ellos y sus señales visitan al comunicarse entre sí. Se refiere al siguiente experimento mental: (1) Sincronizo mi reloj con el del observador B, y (2) B luego viaja a un lugar lejano (por ejemplo, me quedo en la Tierra y B se apaga y se sienta en uno de los GPS). satélites) (3) Envío una señal de luz modulada a la unidad de codificación B "ticks" de mi reloj. Resultado: cuando estas señales lleguen a B, su llegada marcará un tic más lento en relación con el del reloj de B, aunque los relojes estaban sincronizados inicialmente.

Cuánto más lento depende de los detalles de la región que contiene el camino que tomó B para alejarse de mí, así como de los caminos de nuestras señales.

En el sentido de que si encontramos otra región del espacio-tiempo con el mismo sistema de geodésicas que el que acabamos de mencionar, entonces este cálculo será el mismo. No importa dónde o cuándo en el espacio-tiempo se encuentre esta región.

Dilatación del tiempo del espacio plano

La dilatación del tiempo no trivial surge en el espacio plano de Minkowski, donde no hay curvatura. La "dilatación del tiempo" se refiere a una relatividad de las medidas , es decir, se refiere a cómo el tiempo propio medido por diferentes observadores que viajan a través del espacio-tiempo puede ser diferente según el camino que toman a través del espacio-tiempo, de modo que si parten de un punto en el espacio-tiempo y luego se encuentran nuevamente en otro punto, pero toman caminos diferentes, sus relojes serán diferentes:

Oh, tomarás el camino alto, y yo tomaré el camino bajo, para que nuestros relojes digan cuando te encuentre

(Disculpas por eso, me siento particularmente tonto esta mañana). El tiempo propio es para la relatividad general y especial lo que la longitud de arco es para el espacio euclidiano. La "dilatación del tiempo" es, por lo tanto, el análogo de la noción de que la longitud del arco a lo largo de un lado de, por ejemplo , un triángulo es diferente de las sumas de las longitudes de los otros dos lados. Esta es la esencia de la Paradoja de los Gemelos : un gemelo toma un camino recto, el otro mueve otros dos segmentos de línea recta que, junto con el camino recto del primer gemelo, forman un triángulo. La longitud de arco total que atraviesan será diferente, aunque en el espacio euclidiano la trayectoria del gemelo en línea recta tiene una longitud de arco menor que la del gemelo doglegging, mientras que en el espacio de Minkowski es al revés .

Una forma simple de ilustrar la dilatación del tiempo gravitacional es usar el corrimiento al rojo gravitacional . Si hago brillar la luz de la frecuencia$\nu_{me}$desde la superficie de la Tierra hasta usted en la Estación Espacial Internacional, cuando la reciba, la luz se habrá reducido en frecuencia a$\nu_{you}$. Explicamos esto diciendo que mi tiempo transcurre más lentamente que el tuyo, por lo que mido el tiempo entre los picos en la forma de onda de luz para que sea más pequeño que tú. La dilatación relativa del tiempo entre tú y yo es simplemente:

Esto debería dejar en claro que la dilatación del tiempo no es un fenómeno local porque depende de dónde estoy yo, dónde estás tú y qué hay entre nosotros.

En la mayoría de los casos, es probable que encontremos que la gravedad es relativamente débil y podemos describir la geometría del espacio-tiempo utilizando la aproximación de campo débil. En este caso, la dilatación relativa del tiempo para dos observadores cualesquiera viene dada por:

dónde$\Delta\Phi$es la diferencia en la diferencia de potencial gravitatorio (newtoniano) entre los dos observadores.