Considere la teoría , que sabemos que está axiomatizado por los siguientes axiomas:
más el esquema del axioma:
Ahora bien, es bien sabido que los modelos de esta teoría son exactamente aquellos que tienen la forma , dónde es un cardinal finito o infinito. Mi pregunta es acerca de cómo probar esto. No es difícil mostrar que cualquier estructura de esta forma es un modelo para la teoría, pero ¿qué ocurre a la inversa, es decir, que cualquier modelo de la teoría tiene esta forma?
Ahora bien, es claro que cualquier modelo de esta teoría consistirá en un segmento inicial que es una copia de . Mi pensamiento fue entonces definir una relación de equivalencia si hay tal que , y luego demuestre que las clases de equivalencia serán todas de la forma o . ¿Está esto en la dirección correcta?
Además, como nota al margen, solo para verificar, pero el -los tipos de esta teoría están todos aislados por una fórmula de la forma , o bien el tipo único no aislado , ¿correcto?
Tienes la idea correcta, pero necesita un ajuste: la relación de "distancia finita" es lo que quieres, pero no es lo que has escrito (lo que has escrito no es simétrico). Colocar iff o bien hay algo finito tal que o hay algo finito tal que (Tenga en cuenta que esta es solo la "métrica de gráfico" habitual).
Ahora, las observaciones clave son que en cualquier modelo de aritmética sucesora hay exactamente un elemento sin predecesor y la función sucesora es inyectiva. Estos dos hechos implican rápidamente que cualquier modelo de aritmética sucesora consta exactamente de una -clase de "tipo "y todos los demás -las clases (si las hay) tienen "tipo ."
(Puede ser útil pensar en lo que prueba la aritmética sucesora sobre la relación de "distancia uno" ; en mi experiencia, esto es un poco más fácil de conceptualizar, aunque no estoy seguro de por qué).
noah schweber
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