¿Existe un modelo no estándar de la aritmética de Peano donde cualquier elemento tiene solo un número finito de divisores primos?

No hay tal modelo. El siguiente es un teorema de la aritmética de Peano:

por cada número$n$, hay algún número$n'$que es divisible por todo$k < n$.

Considere un modelo no estándar$\langle \mathfrak{M}, +, \cdot, 0, S\rangle$de la aritmética de Peano. Desde$\mathfrak{M}$no es estándar, tiene algún elemento no estándar$K$de modo que$0 < K, 1 < K, 2 < K, \dots$y así sucesivamente, para cada estándar natural.

Por el teorema de la aritmética de Peano citado anteriormente, hay otro número$K'$que es divisible por todo$k < K$. En particular,$K'$es divisible por$2$, Divisible por$3$, Divisible por$5$, y así sucesivamente para todos los números primos estándar.

La pregunta es interesante y quiero agregar algunos comentarios no técnicos a la respuesta técnicamente impecable de ZAK.

Construir modelos de AP donde algo no sucede es un problema notoriamente difícil, especialmente cuando ese algo es expresable en lógica de primer orden.

Uno de los pocos resultados conocidos de este tipo es el célebre Teorema de Paris-Harrington que construye un modelo de PA donde una variante (verdadera) del Teorema de Ramsey no se cumple.

Hace tiempo, se esperaba que versiones más débiles de PA (es decir, fragmentos donde la inducción solo se aplica a fórmulas de baja complejidad) podrían hacer más factible la tarea de construir modelos.

Por ejemplo, se ha dedicado mucho esfuerzo a la cuestión de si$I\Delta_0$(el fragmento de PA donde la inducción solo se aplica a fórmulas acotadas) prueba la infinidad de números primos. Pero el problema se consideró intratable y se abandonó hace unos 40 años. (El problema está conectado con algunos problemas abiertos desesperados en la teoría de la complejidad).