Se sabe que existen modelos no estándar de Aritmética de Peano cuando se describe utilizando lógica de primer orden. Mi pregunta es si existe un modelo estándar (uno que no contenga elementos no estándar) de PA descrito en FOL. ¿Cuál es un ejemplo de tal modelo canónico?
No está claro qué significa "descrito en FOL".
La teoría de primer orden de la Aritmética de Peano ciertamente tiene un modelo estándar, que consiste en los números naturales estándar con sus operaciones aritméticas habituales. Peano Arithmetic también tiene muchos modelos no estándar.
Lo que no se puede hacer en la lógica de primer orden es hacer una teoría tal que el único modelo de es el modelo estándar de la aritmética. Esto no tiene nada que ver con la aritmética per se; una teoría de primer orden que tiene un modelo infinito tiene infinitos otros modelos infinitos, independientemente del tema de la teoría de primer orden.
Según los teoremas de incompletitud de Gödel, cualquier construcción de un modelo para PA debe trascender PA. Usando un poco de teoría de conjuntos (algún pequeño fragmento de ZF) se puede demostrar que (el primer ordinal transfinito de von Neumann) junto con las operaciones aritméticas definibles apropiadas forma un modelo de PA y no tiene elementos no estándar.
Trismegisto
carl mummert