¿Pueden dos modelos diferentes de aritmética tener puntos de vista no comparables de la aritmética peano?

En primer lugar, creo que le interesaría un artículo de Kikuchi y Kurahashi, "Modelos ilusorios de la aritmética de Peano". Exploran preguntas relacionadas en detalle en ese documento. En su notación, lo que llamas "V(M)" lo llaman$\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$.

Notemos primero que si$M \models \lnot \mathrm{Con}(\mathsf{PA})$, entonces$\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$contendrá todas las oraciones en el idioma. Se refieren a tales modelos como "locos", y modelos de$\mathrm{Con}(\mathsf{PA})$como "cuerdo". Entonces, la verdadera pregunta aquí es si, dados modelos cuerdos$M$y$N$, los conjuntos$\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$y$\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(N)$están necesariamente ordenadas linealmente. La respuesta es no; de hecho, el resultado principal con respecto a esto en su artículo muestra que la familia$\mathcal{T} = \{ \mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M) : M$esta cuerdo$\}$tiene cardinalidad$2^{\aleph_0}$.

El quid principal detrás de obtener estos resultados de independencia es que$\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$está totalmente determinada por la$\Sigma_1$teoria de$M$. Además, dada cualquier teoría recursivamente enumerable$T$, hay un$\Sigma_1$declaración$\phi$tal que$T + \phi$y$T + \lnot \phi$son consistentes (este es un argumento de incompletitud habitual, aunque usan una versión más fuerte para obtener eso)$|\mathcal{T}| = 2^{\aleph_0}$). Entonces deja$T$ser la teoria$\mathsf{PA} + \mathrm{Con}(\mathsf{PA})$, y luego puede encontrar dos modelos de PA que tienen diferentes$\Sigma_1$teorías, y por lo tanto tienen "teoremas de PA" incompatibles.

Recomiendo encarecidamente leer ese documento, ya que hacen y responden muchas preguntas relacionadas que podrían interesarle.

Primero, tenga en cuenta que si$\phi \equiv \exists x\psi(x)$es$\Sigma_1$y$M$es un modelo de$PA$, entonces$M \models \phi$implica$\phi \in V(M)$. Esto es porque si$M \models \psi(n)$, entonces$M$es capaz de escribir$n=1+\cdots+1$y luego probar$PA \vdash \psi(1+\cdots+1)$.

Suponga que PA es consistente y sea$A,B$ser un par recursivamente inseparable de disjuntos$\Sigma_1$subconjuntos de$\mathbb{N}$. Incorpore esta disyunción explícitamente en sus fórmulas definitorias, para que pueda probar que están disjuntas. Decimos que para algunos$n$, hay un par de modelos$M_1 \models( n \in A)$y$M_2 \models (n \in B)$. Dado que los conjuntos son$\Sigma_1$y probablemente disjuntos, obtenemos$n\in A$en$V(M_1)$pero no$V(M_2)$, y al revés.

Para una contradicción, suponga que para todo$n$no hay tal par. En particular, o bien no hay modelos con$n \in A$, o no hay ninguno con$n \in B$. Por el Teorema de Completitud, la fórmula correspondiente es un teorema de PA. Definir un conjunto recursivo$C$por: si$PA \vdash n \not \in B$, poner$n$en$C$; y si$PA \vdash n \not \in A$, poner$n$en el complemento$\bar C$. Pero entonces$C$es un separador recursivo para$A$y$B$, contradiciendo la elección de$A$y$B$. La prueba ha terminado.