¿Una pregunta sobre el teorema de Tennebaum?

El teorema de Tennenbaum demuestra que no hay modelos contables recursivos no estándar de la aritmética de Peano . Es una prueba por contradicción. Si nuestro modelo no estándar contable es recursivo, entonces, dado un par de conjuntos recursivamente inseparables, A , B , podemos construir un conjunto separador, C , tal que A ⊂ C y C ∩ B = ∅ . esto significaría A y B son recursivamente separables contradiciendo nuestras suposiciones.

El conjunto separador, C , puede ser un conjunto finito no estándar. Por ejemplo, C podrían los exponentes de la expansión binaria de algún número natural no estándar. Debido a que asumimos que el modelo no estándar es contable, solo hay un número contable de conjuntos finitos no estándar definibles (en el modelo).

No hicimos ninguna suposición sobre los conjuntos recursivamente inseparables, por lo que puedo elegir cualquiera de esos pares. Si hay un número incontable de pares de conjuntos recursivamente inseparables, ¿cómo puede un modelo contable no estándar tener solo un número contable de conjuntos separadores? Si el conjunto separador, C , no es definible en el modelo no estándar, entonces, ¿cómo deriva Tennenbaum una contradicción?

Otra forma de formular mi pregunta es: ¿existen conjuntos de números naturales estándar tales que estos conjuntos no sean un subconjunto de ningún conjunto no estándar definible en un modelo contable no estándar de PA?

Ya les hablé antes de la humildad en sus títulos. Siempre debe comenzar con la suposición de trabajo de que no hay nada malo en el conocimiento establecido y que usted está equivocado. Si te atreves a afirmar que hay un defecto, entonces no deberías plantearlo como una pregunta. Debe presentarlo como una prueba, e incluso si desea que los matemáticos lo traten con seriedad, es mejor sugerir la posibilidad de error, no hacerlo como una afirmación audaz como la que publica aquí.
Y como lo demostraron las preguntas anteriores que posteaste, suele ser que no entendiste puntos muy delicados (que son difíciles de entender, eso es cierto). Así que por favor. Cada vez que le das títulos tan tontos a tu pregunta, erosionas un poco más la paciencia que la gente pueda tener contigo. Y eso es una lástima, porque realmente admiro el hecho de que intentes probar la inconsistencia de la aritmética mientras juegas según las reglas , y no afirmando que tiene que ser así por la razón que sea.

Respuestas (1)

A la pregunta al final de su publicación, no. No hay tales conjuntos. Todo conjunto de enteros estándar es un subconjunto de { X ∣ X = X } de cada modelo de PAG A .

Gracias. Debería haber visto eso. Se reduce a la separabilidad. ¿Hay siempre un conjunto separador no estándar?
¿ Supongo que te refieres a un conjunto recursivo ? No sé. En cualquier caso, tenga en cuenta que si C coordinados A y B luego separa cada subconjunto de A de cada subconjunto de B . Entonces cada conjunto separador está separando innumerables pares de conjuntos por sí mismo.
Todos los conjuntos finitos son recursivos en el modelo. El conjunto de separación siempre se puede reducir a un conjunto finito no estándar. Creo que podemos demostrar que debe haber un número incontable de conjuntos que se separan. Hay un número incontable de conjuntos estándar no recursivos que no son subconjuntos de A .
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