¿Existe un modelo natural de la Aritmética de Peano donde falla el teorema de Goodstein?

El teorema de Goodstein es la afirmación de que cada secuencia de Goodstein finalmente llega a 0. Se sabe que es independiente de la aritmética de Peano (PA) y, de hecho, fue el primer resultado puramente teórico de números. Es demostrable en ZFC.

Una forma de expresar esto es que la teoría "PA + el teorema de Goodstein es falso" es consistente (suponiendo que PA lo sea).

Por el teorema de completitud de Gödel, debe existir un modelo de AP en el que falle el teorema de Goodstein. De hecho, aplicando el teorema de Lowenheim-Skolem hacia abajo, podemos asumir que este modelo es contable.

Sin embargo, con el interés de hablar sobre este resultado a un grupo de estudiantes de posgrado (de diversos intereses), me gustaría ejecutar esto al revés. Entonces,

¿Existe algún modelo contable no estándar conocido, obvio o fácil de construir?$PA$¿En qué falla el teorema de Goodstein?

Al responder a esto, estoy dispuesto a aceptar los teoremas lógicos de primer orden "fundamentales": los resultados de completitud y compacidad de Godel, el teorema de Lowenheim-Skolem.

Aquí está el tipo de respuesta que realmente me gustaría: hay una colección contable explícita$\Sigma = \{\phi_n\}$de oraciones de primer orden (posiblemente en un lenguaje un poco más grande) tal que$\mathbb{N}$es un modelo de$PA + \Sigma_0$para cualquier finito$\Sigma_0\subseteq \Sigma$, y tal que$PA + \Sigma$implica que el teorema de Goodstein es falso.

Un enfoque en el que he pensado es primero ampliar el idioma agregando un símbolo constante c. A continuación, deja$\phi_n$ser el enunciado "La sucesión de Goodstein para$c$lleva más de "n" pasos para terminar". (Aunque personalmente no sé cómo codificar "la secuencia de Goodstein para$c$" en lenguaje de primer orden, estoy seguro de que se puede hacer, porque de lo contrario, uno ni siquiera podría formular "PA demuestra que la secuencia de Goodstein converge".)

En este caso,$\mathbb{N}$es un modelo de cualquier$PA + \Sigma_0$simplemente estableciendo c = n+1, donde n es el subíndice más grande de a$\phi_k$en$\Sigma_0$(que existe porque$\Sigma_0$es finito).

Por los teoremas de Gödel y Lowenheim-Skolem,$PA + \Sigma$tiene un modelo contable$M$. Entonces la interpretación de$c$en este modelo cumple$\phi_n$para todos$n$, y por lo tanto la sucesión de Goodstein no termina para$c$en este modelo

Sin embargo, dado que la independencia del teorema de Goodstein fue tan difícil de probar, estoy bastante seguro de que hay un error en esta línea de razonamiento (aunque no sé dónde). Me encantaría que alguien arreglara esto en algo correcto.

Como siempre, siéntase libre de volver a etiquetar según sea necesario, ¡y gracias por las respuestas!