Jugando rápido y suelto con problemas de tamaño por simplicidad, dejemos Sea la estructura de los números surrealistas equipados con la suma, la multiplicación y el orden de la simplicidad. Tengo curiosidad de cuánto " -como la aritmética" podemos (de primer orden, sin parámetros-) definitivamente ubicar dentro . Tenga en cuenta que sin el orden de simplicidad, la estructura resultante sería demasiado dócil en teoría de modelo para interpretar algo interesante desde esta perspectiva.
Hay varias formas de preguntar esto. La pregunta natural más ambiciosa aquí, en mi opinión, es si hay un subanillo definible de satisfactorio . A primera vista, el subanillo Oz de los enteros omnificos parece un candidato plausible, pero en realidad Oz ni siquiera es un modelo de la subteoría muy débil de ; ver aquí _
Basado en esto, parece una buena idea mirar primero una teoría más débil de la aritmética:
P1 : ¿Hay un subanillo definible de satisfactorio ?
P2 Si no, al menos interpretar ?
Los ordinales (con su orden) se pueden interpretar dentro como las clases de equivalencia con respecto al orden de simplicidad. Dentro de los ordinales podemos definir los ordinales finitos como aquellos que son menores que el primer ordinal límite distinto de cero. Entonces, podemos definir el conjunto de números surrealistas con cumpleaños finitos, es decir, los racionales diádicos. Un racional diádico positivo es un entero iff es mas simple que para todos los racionales diádicos con . Entonces, es definible en .
noah schweber