¿Por qué geométricamente cuatro aceleraciones es un vector de curvatura de una línea universal? ¿Y cuál es la aceleración adecuada?

La curvatura de una curva plana se define como la tasa de cambio (magnitud) del vector unitario tangente sobre la longitud de la curva:

Esta es una definición natural, porque por ejemplo la curvatura de un círculo es simplemente$1/r$, entonces cuando el círculo es pequeño tiene una curvatura grande y cuando es grande tiene una curvatura pequeña. El vector unitario tangente, como sabes, es solo el vector velocidad dividido por su magnitud:

Haz un poco de calculo y encuentras que$d\mathbf{T}/ds =\kappa (s) \mathbf{N}(s)$, dónde$\mathbf{N}$es el vector unitario normal. Así puedes definir$d\mathbf{T}/ds$como el " vector de curvatura " de la curva que apunta normal a la curva y está escalado por la curvatura.

En SR, la velocidad de cuatro$U^\mu$se define de tal manera que su magnitud es siempre$c$. Además, tendemos a trabajar en unidades donde$c=1$, por lo que la velocidad de cuatro es en realidad un vector unitario tangente a la línea de tiempo. La cuatro aceleración, que se define como$A^\mu = dU^\mu /ds$, es por lo tanto el vector de curvatura de la línea de mundo, cuya magnitud es la curvatura.

La aceleración adecuada es solo una forma elegante de decir "la aceleración que podrías medir con un acelerómetro". La magnitud de cuatro aceleraciones es siempre la aceleración adecuada, por lo que, geométricamente, la aceleración adecuada de un observador es la curvatura de su línea de mundo.

Un objeto que se mueve en una trayectoria inercial tiene una línea de universo recta en relatividad especial. Luego, la aceleración de cuatro mide cuán no recta es la línea mundial.

Cuando la gravedad está involucrada, una trayectoria de inercia (caída libre) puede curvarse debido a la gravedad. La aceleración de cuatro todavía mide la aceleración relativa a tal camino, y la aceleración adecuada es básicamente esa aceleración de cuatro convertida en un vector de tres. Por ejemplo, una trayectoria de caída libre en las cercanías de la Tierra sería, bueno, una en la que caes libremente hacia el centro de la Tierra. Tal trayectoria tiene cero aceleración propia en ausencia de otras fuerzas. Si, en cambio, está parado en la superficie de la Tierra, su aceleración adecuada se dirige radialmente lejos del centro de la Tierra, con una magnitud$g$.

esta es la razón por la que 4-acc tiene una curvatura geométrica.