¿Son los vectores verdaderamente independientes de los sistemas de coordenadas?

Me han dicho que piense en los vectores como existentes independientemente de un sistema de coordenadas.

Sí. Porque los vectores representan hechos físicos. Esa cosa está a medio camino entre esas dos cosas. Este otro objeto se mueve directamente hacia Toledo. Etcétera.

Pero no cosas como 'su coordenada x es +7 metros', que no es solo un hecho sobre la cosa, sino que enreda la elección del origen y la orientación de los ejes en la descripción. No hay razón para esperar que un hecho que depende del origen sea independiente del origen. Tampoco hay razón a priori para esperar que un hecho que depende de la orientación de los ejes sea independiente de esas orientaciones.

Lo que nos lleva a:

Esto significa que la magnitud de un vector debe ser independiente de cualquier sistema de coordenadas que elijamos.

No. El hecho físico representado por el vector sigue siendo el mismo, pero los valores numéricos utilizados en la parte superior representan ese hecho y dependen de cómo elija medirlos (y 'un acuerdo sobre cómo medir posiciones' es una definición razonable de un sistema de coordenadas) .

Ahora bien, existen hechos numéricos sobre cantidades que son independientes de ciertas transformaciones de sistemas de coordenadas. La magnitud de los vectores cartesianos es invariable en las rotaciones del sistema de coordenadas. Las magnitudes de los vectores de Lorentz son independientes de esas rotaciones y de los impulsos. Etcétera. Pero la declaración citada aquí generaliza eso.

¿Cómo es posible tener un vector que tenga una magnitud diferente en un sistema de coordenadas diferente?

Cuando las posiciones se tratan como posiciones vectoriales (lo que se hace a menudo en los cursos de introducción), son desplazamientos desde el origen. Pero eso hace explícito que cambiar el origen cambiará el vector que usas. Una transformada galileana es aquella que representa un origen que cambia continuamente, por lo que las posiciones y sus derivadas pueden no ser invariantes en tales transformaciones.

Un sistema de coordenadas no es lo mismo que un marco de referencia.

Un marco de referencia es básicamente un sólido considerado inmóvil, es decir, un punto y tres ejes.

Un sistema de coordenadas se basa en un marco y se utiliza para determinar la posición de un punto.

Como explicó Steeve, una vez que se elige un marco,

Elegir una referencia diferente para describir objetos en este espacio no cambia ninguna propiedad del objeto o del espacio. Es análogo a mirar desde una perspectiva diferente o hablar de ello en otro idioma. La magnitud es la misma independientemente.

Los vectores son independientes del sistema de coordenadas. Dependen del marco, sin embargo, y la transformada de Galileo cambia el marco de referencia.

¡Sin embargo, las fuerzas son independientes del marco de referencia!

Las posiciones no son vectores.$x$no es un vector Hay dos cosas que puedes hacer con los vectores: sumarlos y escalarlos. No tiene sentido hablar de la posición de Washington DC más la posición de la ciudad de Nueva York, o la posición de los tiempos de Washington DC.$2$. Lo que podemos hacer es elegir arbitrariamente un punto y considerar el vector producido por la diferencia entre dos puntos. Sin embargo, el vector resultante depende del punto arbitrario que elijamos y que solemos llamar origen. Cualquier transformación que cambie el origen cambiará el vector que representa un punto. Por supuesto, el punto no cambia. La ciudad de Nueva York no se mueve si decido usar el Polo Sur como origen en lugar del Polo Norte. Las velocidades ya son vectores ya que corresponden a (el límite de) la diferencia entre dos puntos.

Dejar$x$ser el punto que nos interesa y$O$sea ​​el origen elegido arbitrariamente. Entonces hay un vector de desplazamiento$\mathbf r = x - O$.$x$es entonces$\mathbf r + O$. Si mantenemos la distinción entre$x$y$\mathbf r$no hay confusión.$\mathbf r$ es independiente del origen. "226 millas al noreste", como en "conducir 226 millas al noreste", significa lo mismo sin importar dónde se encuentre o cómo llame al origen. (Al menos en un plano. En un globo las cosas son más sutiles. La superficie de un globo no es un espacio afín. Vea el siguiente párrafo).$x$también es independiente del origen. Lo que no es invariante es que$-\mathbf r + x$es lo que actualmente llamamos "el origen". Si cambiamos el origen a$O' = \mathbf r' + O$entonces nosotros tenemos$x = \mathbf r - \mathbf r' + O'$. Si queremos saber qué$x - O'$es que conseguimos$\mathbf r - \mathbf r'$. Otra forma de formular esto es decir que tenemos una función,$f$, que asigna vectores de "posición" a los puntos. Este es (parte de) nuestro sistema de coordenadas. Nuestra función original es$f(y) = y - O$y tenemos$f(x) = \mathbf r$. Cambiar el sistema de coordenadas significa elegir una función diferente,$g$. En el caso anterior,$g(y) = y - O'$. Ahora$g(x) = \mathbf r - \mathbf r'$. Entonces, lo que cambia cuando cambiamos el sistema de coordenadas no es el punto$x$o el vector$\mathbf r$, pero la asignación representada por la función$f$. En este caso, podemos representar las transformaciones de los viejos vectores de "posición" a los nuevos vectores de "posición" restando el vector$\mathbf r'$. Los cambios de coordenadas más complicados pueden conducir a transformaciones más complicadas y sutiles. Por ejemplo,$f(y) = 1000(y-O)$podría representar un cambio de kilómetros a metros. Obviamente, esto no hace que las cosas estén 1000 veces más lejos. En cambio, este cambio de coordenadas tiene un cambio compensatorio en nuestra noción de longitud, a saber, que se necesitan 1000 unidades en el nuevo sistema para igualar lo mismo que 1 en el antiguo. En otras palabras, tenemos un factor de conversión$1000\frac{\text{m}}{\text{km}}$, es decir, un vector con una magnitud de 1000 en nuestro nuevo sistema, es decir, tiene 1000 m de largo, es lo mismo que un vector con una magnitud de 1 en nuestro sistema anterior, es decir, tiene 1 km de largo. Siempre tendremos tales cambios de compensación para cualquier cambio de coordenadas que se comporte bien (técnicamente llamado difeomorfismo). Esto es solo un reflejo del hecho de que cambiar la forma en que etiquetamos partes de la realidad no cambia la realidad.

Técnicamente, un espacio donde hay una noción bien definida de "diferencia entre dos puntos" se llama espacio afín . Hay una noción más general llamada torsor . Muchas nociones en física se consideran con mayor precisión como torsores/espacios afines. Por ejemplo, una orientación en un plano es un torsor. No tiene sentido componer orientaciones, pero podemos considerar "razones" a las que llamamos rotaciones que llevan una orientación a otra. ¿Qué significa noreste compuesto por norte? Nada, es una tontería, pero es perfectamente razonable hablar de una rotación de 45° compuesta por una rotación de 90° que produce una rotación de 135°.

Desafortunadamente, gran parte de la literatura de física, especialmente al principio, combina espacios afines y espacios vectoriales (y otros torsores con sus grupos) que conducen a este tipo de confusión y otras similares. Recomiendo el enlace que di antes para torsors.

Una cosa que puede causar cierta confusión es que existen algunas diferencias entre la forma en que los físicos tienden a pensar sobre los vectores y escalares y la forma en que los matemáticos tienden a pensar sobre ellos. Los físicos tienden a pensar en ellos de esta manera:

• Un 3-vector es un vector que se transforma bajo un cambio de base de la misma manera que un desplazamiento espacial.
• Un vector de 4 es un vector que se transforma bajo un cambio de base de la misma manera que un desplazamiento de espacio-tiempo.
• Un escalar es una cantidad que no cambia en absoluto bajo un cambio de base.

Con base en estas ideas, creo que es útil presentar la idea de lo que llamo un "objeto incompleto" u IO. Un IO es un objeto matemático que no contiene suficiente información para permitirle transformarlo. Supongamos que voy y visito Gettysburg y me paro frente a la placa de bronce que marca el lugar de la batalla. Podría decir que tengo un vector de desplazamiento$\Delta\textbf{x}=0$entre mi posición actual en el espacio y la posición donde ocurrió la lucha. Pero, por supuesto, todo esto es bajo el supuesto de que la tierra está en reposo. Ciertamente hay un marco de referencia galileano en el que$\Delta\textbf{x}=0$, pero hay otros marcos en los que$\Delta\textbf{x}\ne0$. Este$\Delta\textbf{x}$es un IO en el contexto de las transformaciones de Galileo. Supongamos que te digo que$\Delta\textbf{x}=0$en un cierto marco, y luego pedirle que encuentre el valor de$\Delta\textbf{x}$en algún otro marco, digamos, un marco que se mueve hacia Sirius en$10^5$EM. Esta no es suficiente información. Para poder realizar el cálculo, también necesitarías saber el tiempo entre la batalla de Gettysburg y el día de hoy. Para que el desplazamiento no sea un IO, necesitaríamos cambiarlo a un vector de 4.

El problema con los 3 vectores de velocidad es básicamente el mismo que el problema con los 3 vectores de desplazamiento. Un vector de velocidad 3 es solo un desplazamiento dividido por un tiempo, por lo que es un IO bajo transformaciones de Galileo. De manera relativista, hacemos uso de 4 vectores de velocidad (que tienen una normalización arbitraria), y estos 4 vectores se transforman apropiadamente bajo una transformación de Lorentz (aunque no se combinan según la suma de vectores en movimiento relativo).

Otro buen ejemplo de un IO tiene que ver con el método habitual para calibrar la brújula magnética integrada en algunas unidades GPS portátiles. Las instrucciones del dispositivo le indican que lo sostenga en un plano horizontal y gire lentamente 360 ​​grados. Debido a que el dispositivo cree en la invariancia rotacional, sabe cómo$B_x$y$B_y$debe transformar, y si encuentra que$\sqrt{B_x^2+B_y^2}$no permanece constante, puede recalibrarse para eliminar la discrepancia. Pero si luego inclina el dispositivo para que no quede en un plano horizontal, se entristecerá y se confundirá. Esto te dice que$(B_x,B_y)$es un IO, y necesita extenderlo a$(B_x,B_y,B_z)$.

Otro ejemplo de un IO es la densidad de carga$\rho$. Para convertirlo en un objeto completo, debe extenderlo al actual 4-vector$(\rho,\textbf{j})$.

Una cosa a tener en cuenta en la relatividad galileana es que no hay métrica. No existe un sistema unificado de medida que mida tanto el tiempo como el espacio. Por lo tanto, aunque puede convertir los vectores de desplazamiento y velocidad en 4 vectores galileanos, que son objetos completos temerosos de Dios en lugar de IO, no puede hablar sobre la magnitud de un 4 vector galileano.