En la introducción a los tensores de la NASA aquí: https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf
En la página 15 dice:
Pero supongamos que V1 y V2 fueran vectores de posición de los puntos P1 y P2 en K, y que V1* y V2* fueran vectores de posición de los mismos puntos P1 y P2 en K*. El vector que se extiende de P1 a P2 debe ser el mismo vector en ambos sistemas. Este vector es V2 – V1 en K y V2* – V1* en K*.
Así tenemos V2 – V1 = V2* – V1*
es decir, mientras que el vector de posición en sí mismo no es un tensor, ¡la diferencia entre dos vectores de posición cualesquiera es un tensor de rango 1!
Intenté un ejemplo muy simple basado en mi comprensión:
En el sistema de coordenadas (i, j):
V1: (0, 1)
V2: (1, 0)
En el sistema de coordenadas (j, -i) (las primeras coordenadas giraron alrededor del origen 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj):
V1*: (1, 0)
V2* (0, -1)
V1 y V1* representan el mismo punto, pero su coordenada es diferente debido a una base diferente.
V1 - V2 = (-1, 1)
V1* - V2* = (1, 1)
Parece que la diferencia entre dos vectores de posición NO es la misma.
¿Me estoy perdiendo de algo?
Este es un enfoque bastante no estándar.
El enfoque estándar es distinguir entre las coordenadas de un punto (n-tuplas de números dados por mapas de coordenadas, en este caso cartesianos) y vectores, que son flechas de un punto a otro. En el momento en que dices vector de posición, ya te refieres a una flecha de un punto a otro, siendo el primer punto el origen del sistema de coordenadas.
El vector en sentido matemático es por definición un tensor de rango 1. Normalmente, cuando decimos vector, ya nos referimos a este objeto matemático, por lo que no hay distinción entre vectores tensoriales y no tensoriales. Solo hay vectores o coordenadas de algún punto en algún gráfico cartesiano.
Ahora a tu pregunta:
Parece que la diferencia entre dos vectores de posición NO es la misma.
De hecho, son el mismo vector, solo está utilizando una base diferente para escribirlos. El primer sistema de coordenadas define la base de coordenadas y . El primer vector se escribe en esta base:
Su confusión es una consecuencia desafortunada de mezclar coordenadas, vectores y componentes de vectores en un gran lío que está haciendo el artículo (para ser justos, realmente no leí el artículo, tal vez soy demasiado duro). Simplemente creo que esta es una forma terrible de aprender sobre vectores y tensores. Sugeriría agarrar algún libro escrito por un matemático, los matemáticos suelen tener perfectamente claro qué es qué.
l3totalmente