Interpretación: Transformación galileana de leyes de fuerza

eso dicen mis libros

La transformación que nos permite pasar de un marco inercial$O$con coordenadas$x_i$a otro marco inercial$O'$con coordenadas$x_i'$es la transformación de Galileo. Si la velocidad relativa de los dos marcos se da como$\vec{v}=const$y sus orientaciones relativas están especificadas por tres ángulos$\alpha, \beta$y$\gamma$, las nuevas coordenadas están relacionadas con las anteriores por$x_i \to > x_i' = \mathbf{R}_{ij} x_j - v_it$, dónde$\mathbf{R}=\mathbf{R}(\alpha, \beta, \gamma)$es la matriz de rotación. En la física newtoniana, se supone que la coordenada de tiempo es absoluta, es decir, es la misma en todos los marcos de coordenadas.

Para la transformación de Galileo, estamos interesados ​​principalmente en transformaciones de coordenadas entre marcos inerciales con la misma orientación,$\mathbf{R}(0,0,0)_{ij}=\delta_{ij}$. Tal transformación se llama impulso (galileano):

$$\begin{align} x_i \to x_i' &= x_i - v_it \tag{1.1}\\ t \to t' &= t \tag{1.2} \end{align}$$

y también establece la regla de suma de velocidad

$u_i \to u_i' = u_i - v_i \tag{2}$

Ahora quería resolver el siguiente problema:

Relatividad newtoniana: Considere algunos ejemplos definidos de la mecánica newtoniana que no se modifican por la transformación galileana de (1.1, 1.1) y (2):

Muestre que la fuerza dada por el producto de la aceleración y la masa$\vec{F}=m\vec{a}$, así como una ley de fuerza como la ley de la gravedad de Newton$\vec{F}=G_n\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}$permanecen iguales en todos los marcos inerciales.

lo que hice es

1. $F=ma=m\frac{d^2}{dt^2}x=m\frac{d^2}{dt'^2}(x'+vt)=m\frac{d^2}{dt'^2}x'=ma'$
2. Ahora asume$v$solo actúa en la dirección x. quiero mostrar que el$\vec{F}=G_n m_1m_2 \frac{1}{r^2}\hat{r}$es el mismo en todos los marcos inerciales. Así que básicamente quiero mostrar$\frac{1}{r^2}\hat{r} = \frac{1}{r'^2}\hat{r'}$resp.$\frac{\vec{r}}{r^3}=\frac{\vec{r'}}{r'^3}$

$\frac{\vec{r}}{r^3}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}^3}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{(x'+vt)^2+y'^2+z'^2}^3}\begin{pmatrix} x'+vt \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$

Ahora 1. funciona muy bien. Todo parece estar bien, pero 2. no funciona y, para empezar, no entiendo por qué debería funcionar.

Ahora 1. básicamente me dice: Si mido la fuerza de un resorte en casa o en mi carro que se mueve con velocidad constante: obtengo el mismo resultado.

Ahora, ¿qué me dice 2.? Yo lo interpreto así: supongamos que tenemos una mini-tierra que podemos llevar con nosotros. Lo llevamos a nuestra habitación. Medimos la fuerza gravitatoria que actúa sobre alguna masa puntual en un lugar específico$\vec{x_0}$. Obtenemos algo de valor. Luego conducimos en nuestro automóvil, nuevamente con una velocidad constante y medimos nuevamente: Mismo resultado.

Ahora creo que lo que hago en mi intento de probar 2. es arreglar la tierra. Lo dejo en casa, me siento en mi auto, conduzco y trato de medir cosas.

Sin embargo, no estoy muy seguro, así que opté por un ejemplo más simple: la Ley de Hook.

Tenemos$F_h=-kx$. Es fácil de imaginar: si aprieto mi resorte por$x=1m$Obtengo algún tipo de fuerza que empuja hacia atrás. No importa si lo hago en casa o en el auto, así que intentemos demostrarlo:

$F_h=-kx=-k(x'+vt)\neq F_h' = -kx' \tag{3}$

Entonces, de nuevo, en 3 básicamente dejamos la primavera en casa, ¿no?

¿Cómo demuestro que una ley de fuerza no cambia bajo la transformación de Galileo?