¿Qué es la carga de color?

Hice esta pregunta hace unas semanas y no estaba satisfecho con la mayoría de las respuestas que encontré en Internet, por lo que finalmente logré obtener una copia del excelente texto de Griffiths sobre partículas elementales (realmente, todos sus textos son excelentes) que incluye una sección que responde exactamente a mi pregunta con lo que estaba buscando. Decidí entonces contestarla yo mismo, por si algún otro curioso lee esto y quiere saber.

Esta es solo una explicación muy superficial, destinada a responder mi propia pregunta a mi propia satisfacción.

Griffiths comienza presentando lo que son básicamente tres copias de carga EM llamadas carga de color, y propone que sean vectores de columna de tres elementos:

$$c_{red} = \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), c_{blue} = \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right), c_{green}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right).$$ Estos podrían, en principio, tomar cualquier valor vectorial, excepto por efectos de simetría en la teoría y confinamiento de color.

Para averiguar cómo interactúan estos vectores de carga, recurrimos a Gell-Mann$\lambda$-matrices, que son para$SU(3)$para que sirven las matrices de Pauli$SU(2)$. Estos están enumerados por Griffiths, pero escribir matrices sería una molestia; puedes buscarlos en Wikipedia.

Luego, Griffiths toma las amplitudes de dispersión de Feynman en el orden más bajo para la interacción cromodinámica y, a partir de ellas, desarrolla potenciales para varias interacciones.

Para quark-anti-quark, tiene

$$V_{q\bar{q}}(r) = -f\frac{\alpha_s\hbar c}{r}.$$ Esta es una fuerza de largo alcance en principio, pero se hace de corto alcance debido al confinamiento. Toma la misma forma que el potencial de Coulomb. Lo importante aquí es el $f$, que Griffiths llama el "factor de color". Este factor de color es como $q_1q_2$en electrostática o $\mathbf{p}_1\circ\mathbf{p}_2$para las fuerzas dipolo-dipolo, y dependerá del estado de color de las partículas que interactúan en cuestión. Se calcula por $$f = \frac{1}{4} (c_3^\dagger\lambda^\alpha c_1)(c_2^\dagger\lambda^\alpha c_4),$$ donde la suma está implícita sobre $\alpha$. Aquí $c_1$está a cargo del quark entrante, $c_3$carga del quark saliente, y $c_2,c_4$cargas de antiquark entrantes y salientes.

Como ejemplo, Griffiths calcula la interacción entre rojo y anti-azul.

$$c_1=c_3=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), c_2=c_4=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right).$$ Por eso $$f = \frac{1}{4}\left[(1,0,0)\lambda^\alpha\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) \right]\left[ (0,1,0)\lambda^\alpha \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right] = \frac{1}{4}\lambda^\alpha_{11}\lambda^\alpha_{22}.$$ Es decir, se trata de una suma sobre los productos del primer elemento diagonal y el segundo elemento diagonal de cada una de las matrices de Gell-Mann. Al observar su forma, las únicas matrices con estos dos elementos distintos de cero son las etiquetadas por Griffiths $\lambda^3$y $\lambda^8$. Estos conducen a $$f = \frac{1}{4}[(1)(-1)+(1/\sqrt{3})(1/\sqrt{3})] = -\frac{1}{6},$$ $$V_{r\bar{b}} = \frac{1}{6}\frac{\alpha_s \hbar c}{r},$$ que es evidentemente una fuerza repulsiva . Griffiths también calcula otras interacciones. Por ejemplo, interacciones quark-antiquark singlete, $(1/\sqrt{3})(r\bar{r}+b\bar{b}+g\bar{g})$, que tienen factor de color $f=\frac{4}{3}$y, por lo tanto, son atractivos , lo que explica el confinamiento de los quarks en estados de singlete de color y la falta de observación de los estados coloreados. También calcula las interacciones quark-quark, que tienen un potencial ligeramente diferente, $$V_{qq}=f\frac{\alpha_s \hbar c}{r}.$$ Como ejemplo, calcula la interacción rojo-rojo; tiene factor 1/3, por lo tanto es repulsivo.

Hay mucho de esto en este maravilloso libro, pero eso es suficiente para satisfacer mi curiosidad sobre qué es la carga de color y cómo funciona. Esperemos que sea útil para cualquier otra persona. Por supuesto, esto fue muy simplificado por el bien de mi propio cerebro simplificado y sin duda exasperante para los pedantes en el campo, pero si desea una mejor explicación y comprensión, todo esto fue tomado del Capítulo 8.4 de Introducción a las partículas elementales por David Griffiths, publicado por Wiley-VCH, segunda edición revisada, solo para citar fuentes.

Pruebe esto para ver el tamaño: carga de color es un nombre para un conjunto de tres cargas relacionadas, que están etiquetadas arbitrariamente como rojo, verde y azul. Cada una de las cargas individuales funciona como una especie de carga electromagnética, en la que tiene valores positivos y negativos: rojo y antirojo, verde y antiverde, azul y antiazul. Así que es como un espacio de carga tridimensional, con tres cargas independientes en los ejes. Así, la carga de color de una partícula estaría representada por un vector$(c_1, c_2, c_3)$.

La principal diferencia que hace que este no sea un espacio de carga 3D normal es que una combinación igual de las tres cargas equivale a ninguna carga de color. Así que puedes imaginarte tomando ese espacio 3D de carga de color y proyectándolo en el plano 2D ortogonal al eje de color neutro. Es decir, si tienes una partícula cuya carga de color es$(c_1, c_2, c_3)$, eso es equivalente a la proyección de ese vector sobre el plano perpendicular a$(1,1,1)$.

Ahora vamos a los detalles. No sé de antemano cuál sería la fórmula equivalente a, por ejemplo, la ley de Coulomb para la fuerza fuerte; hay algunas matemáticas muy complicadas involucradas. Pero cualitativamente, puedo decirles que las cargas de color siempre intentan permanecer en grupos neutrales. (Singletes, en el lenguaje de la teoría de grupos) Por ejemplo, si tiene partículas rojas, verdes y azules juntas, será muy difícil separarlas. Del mismo modo, el rojo y el antirojo serán difíciles de separar, por lo que se podría decir que se atraen entre sí. Si pones una partícula roja y una antiazul juntas, no forman un par de color neutral, así que creo que habrá un poco de repulsión, a menos que las dos se unan con una tercera partícula que tenga la carga de color correcta. para hacer que se agrupen en colores neutros (lo que en realidad sería solo una combinación de un antirojo y un azul).