¿Cuál es la definición de ψ¯ψ¯\bar\psi en QCD?

Esta es una pregunta de dos partes.

  1. ¿Cuál es la definición de ψ ¯ en QCD?

En QED sé que ψ ¯ = ψ † γ 0 , pero en QCD también tenemos espacio de sabor y/o color. En particular, estoy leyendo la revisión de Klevansky del modelo Nambu-Jona Lasinio de QCD, en el que el Lagrangiano y varias transformaciones de simetría parecen involucrar las matrices de isospín de Pauli. τ .

  1. ¿Cómo puedo probar la siguiente transformación de simetría, dada en la Ec. (2.8) de la fuente citada arriba?

ψ → mi − i ( τ ⋅ θ ) γ 5 / 2 ψ ⇒ ( ψ ¯ ψ ) → ( ψ ¯ ψ ) porque ⁡ θ − ( ψ ¯ i γ 5 τ ⋅ θ ^ ) pecado ⁡ θ .

Obviamente (1) es necesario para responder a (2), pero de todos modos estoy confundido en cuanto a cómo funciona esto.

Respuestas (1)

En un modelo NJL con dos sabores ( tu , d ) , el campo ψ Se define como

ψ = ( tu d ) ,
ser tu y d espinores de Dirac ordinarios. Esto significa que, en tu transformación, la parte SU(2) se aplica a ψ mientras γ 5 va en los espinores individuales de Dirac. recordando que γ 5 2 = I , tienes
mi − i τ ⋅ θ γ 5 / 2 = porque ⁡ ( | θ | 2 ) − i τ ⋅ θ | θ | γ 5 pecado ⁡ ( | θ | 2 )
que rinde
mi − i τ ⋅ θ γ 5 / 2 ψ = porque ⁡ ( | θ | 2 ) ( tu d ) − i τ ⋅ θ | θ | pecado ⁡ ( | θ | 2 ) ( γ 5 tu γ 5 d ) .

En cuanto a mi pregunta 1, es ψ ¯ entonces la transposición de ψ en el espacio de sabor, con tu y d también convirtiéndose tu † γ 0 y d † γ 0 ? la multiplicacion por γ 0 para la parte espinora me hace preguntarme si también hay una multiplicación por algún τ matriz para la parte de sabor.
Tienes razón y esta es la parte interesante como γ 5 anticonmuta con γ 0 y esto da exactamente la transformación que obtienes para ψ ¯ ψ .
Volviendo a esto (semanas después), todavía estoy confundido acerca de cómo el τ ⋅ θ se convierte en | θ | / 2 . he estado asumiendo τ ⋅ θ = θ 1 τ 1 + θ 2 τ 2 + θ 3 τ 3 para parámetros reales arbitrarios θ i . ¿Es esto cierto? Si es así, ¿cómo funciona el τ ⋅ θ desaparecer de la porque ¿término?
No importa, ahora lo veo: las relaciones de conmutación para las matrices de Pauli muestran que ( τ ⋅ θ ) 2 = | θ | 2 , y eso hace el truco.
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