Sabemos que para un GPS necesitamos hacer una corrección tanto para la relatividad general como para la especial: la relatividad general predice que los relojes van más lentos en un campo gravitatorio más alto (el reloj a bordo de un satélite GPS se mueve más rápido que un reloj en la Tierra), mientras que los relojes especiales La relatividad predice que un reloj en movimiento es más lento que uno estacionario (frenar el reloj en comparación con el de la Tierra).
Mi pregunta es la siguiente: ¿es posible, en teoría, establecer una órbita para que estos dos efectos se anulen entre sí, permitiendo que un reloj a bordo de un satélite GPS funcione como si estuviera en la Tierra? ¿Hay una distancia en la que se cancelen los efectos especiales y generales?
Lo siento si esta es una pregunta estúpida, todavía no estoy del todo seguro con la teoría de la relatividad general.
Sí, para una órbita circular a aproximadamente Los radios de la Tierra, las dilataciones del tiempo gravitacional y relativista especial se cancelan. El GPS se modela con la métrica estática de campo débil (en unidades de ):
En el orden de aproximación anterior, cada reloj en el geoide funciona a la misma velocidad porque el geoide es una superficie equipotencial de la suma de los potenciales gravitacional y centrífugo (esto a veces se denomina potencial de gravedad ). Este factor común resulta ser , dónde .
Como la métrica es estática, es un campo letal que produce la conservación de la energía específica orbital . Si queremos que el satélite tenga la misma dilatación de tiempo que el reloj en el geoide, entonces por sustitución, debe ser una constante y, en consecuencia, también debe serlo. . En otras palabras, no es posible tener una órbita que compense los cambios en el potencial gravitatorio con los cambios en la velocidad para mantener igual la dilatación total del tiempo.
Ahora, si aproximamos a la Tierra como esféricamente simétrica con potencial gravitacional , entonces está claro que solo se deben considerar las órbitas circulares, y la misma condición de tasa de ticks da , o radios de la tierra.
En realidad, el potencial gravitacional en el modelo GPS se toma como los términos de monopolo y cuadrupolo:
Esta situación es un poco más difícil, pero aún debería poder obtener una órbita que brinde una concordancia cercana en el plano ecuatorial.