¿Qué pasa con el momento en el pozo cuadrado infinito?

• es el operador de cantidad de movimiento$P=-i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ simétrico cuando se restringe al intervalo compacto del pozo? ¿Hay sutilezas en su definición, a través de su dominio o similar, que no están presentes en la versión de línea real?

(De ahora en adelante asumo que el espacio de Hilbert es$L^2([0,1],dx)$.)

Depende de la definición precisa del dominio de$P$. Una elección natural es

$$D(P) = \{\psi \in C^2([0,1])\:|\: \psi(0)=\psi(1)=0\}\:.\tag{1}$$ Con esta definición$P$es simétrico : (a) el dominio es denso en$L^2([0,1], dx)$y (b) el operador es hermitiano $$\langle P\psi| \phi \rangle = \langle \psi| P\phi \rangle\quad \mbox{for $\psi, \phi \in D(P)\:.$}\tag{2}$$ Se pueden considerar distintas definiciones del dominio más o menos equivalentes. El punto es que la extensión autoadjunta está relacionada con el cierre de$P$y no a$P$mismo, y puede tener varias posibilidades de obtener el mismo estado de cierre de diferentes dominios. La situación es similar a lo que sucede en la línea real. Ahí$P$se puede definir como un operador diferencial en$C_0^\infty(\mathbb R)$o$\cal S(\mathbb R)$(espacio de Schwartz), o$C^1_0(\mathbb R)$y también interpretando la derivada en sentido débil. En todos los casos el cierre de$P$es el mismo.

• es el operador de cantidad de movimiento$P=-i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ auto-adjunto en estas condiciones? Si no, ¿por qué no, y cuáles son las consecuencias en términos de las cosas que normalmente nos importan cuando hacemos QM unidimensional?

No es autoadjunto con dicha elección de su dominio (o con cada modificación trivial de ese dominio). La consecuencia es que no admite descomposición espectral tal cual y por lo tanto no es un observable ya que no tiene asociado un PVM.

Definición$P= -i \hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$en la línea real con uno del dominio dicho anteriormente, surge el mismo problema.

El hecho general es que los operadores diferenciales nunca son autoadjuntos porque el adjunto de un operador diferencial no es un operador diferencial ya que no puede distinguir entre funciones suaves y no suaves, porque los elementos de$L^2$son funciones hasta conjuntos de medida cero. A lo sumo un operador diferencial simétrico puede ser esencialmente autoadjunto , es decir, admite una única extensión autoadjunta (que coincide con la clausura del operador inicial). Este único operador autoadjunto es el verdadero observable de la teoría.

• Si no es autoadjunto, ¿admite una extensión autoadjunta ?

Sí. La forma canónica es verificar si los índices de defectos de$P$con dominio (1) son iguales y lo son. Pero el camino más corto consiste en invocar un teorema de von Neumann:

Si un operador simétrico (densamente definido) conmuta con un operador antilineal$C$definida en todo el espacio de Hilbert y tal que$CC=I$, entonces el operador admite extensiones autoadjuntas.

En este caso$(C\psi)(x):= \overline{\psi(1-x)}$satisface la hipótesis.

Si es así, ¿esa extensión es única?

NO, no lo es, el operador no es esencialmente autoadjunto.

Si la extensión no es única, ¿cuáles son las diferentes opciones posibles y cuáles son sus diferencias? ¿Esas diferencias tienen significado/asociaciones/consecuencias físicas? ¿Y qué es una extensión autoadjunta de todos modos, y dónde puedo leer sobre ellos?

Hay una clase de extensiones autoadjuntas parametrizadas por elementos$\chi$de$U(1)$. Estas extensiones se definen en la extensión correspondiente del dominio.

$$D_\chi(P) := \{\psi \in L^2([0,1],dx)\:|\:\psi' \mbox{in weak sense exists in $L^2([0,1],dx)$ and $\psi(1) = \chi\psi(0)$} \}\:.$$ (Es posible probar que con dicha definición de$D_\chi$la definición es consistente:$\psi$es continuo por lo que$\psi(0)$y$\psi(1)$tiene sentido). A continuación, la extensión autoadjunta de$P$sobre$D_\chi(P)$es de nuevo$-i\hbar \frac{d}{dx}$donde la derivada se interpreta en sentido débil. El caso más simple es$\chi=1$y tiene el operador de impulso estándar con condiciones de contorno periódicas , que es autoadjunto. Las otras extensiones autoadjuntas son cambios triviales de esta definición. No conozco el significado físico de estas diferentes opciones (si las hay): la teoría es demasiado elemental en esta etapa para imaginar alguna interpretación física. Quizás con un modelo mejorado surge una interpretación física.

• ¿Cuál es el espectro y los vectores propios del operador de cantidad de movimiento y sus extensiones? ¿Cómo se diferencian entre sí? ¿Existe tal cosa como una representación de impulso en este escenario? ¿Si no, porque no?

Puede calcular fácilmente el espectro, que es un espectro de punto puro y los vectores propios son exponenciales desplazados. Si$\chi = e^{i \alpha}$dónde$\alpha \in \mathbb R$, y denotamos por$P_\alpha$la extensión autoadjunta asociada de$P$un conjunto de vectores propios es

$$\psi^{(\alpha)}_n(x) = e^{i(\alpha + 2\pi n)x}$$ con valores propios $$p^{(\alpha)}_n := \hbar(\alpha + 2\pi n)\quad n \in \mathbb Z\::$$ el conjunto de los$\psi^{(\alpha)}_n$es una base de Hilbert porque está conectada con la base estándar de exponenciales por medio del operador unitario$(U_\alpha \psi)(x) = e^{i\alpha x} \psi(x)$. Esencialmente, el teorema de Nelson y el teorema de descomposición espectral prueban que$P_\alpha$tiene espectro de punto puro hecho de los reales$p_n^{(\alpha)}$. Así que existe una representación de momento como puedes probar inmediatamente.

• ¿Cuál es la relación entre el operador de cantidad de movimiento (y sus posibles extensiones) y el hamiltoniano?

Como sabes, si empiezas de forma$H := -\hbar \frac{d^2}{dx^2}$en$D(H):= \{\psi \in C^2([0,1]) \:|\: \psi(0)=\psi(1) =0\}$(Asumo$2m=1$) esto es esencialmente autoadjunto, aunque el operador de momento correspondiente con el dominio (1) no lo es. (La demostración surge inmediatamente del teorema de Nelson ya que$H$es simétrica y admite una base de Hilbert de funciones propias.)

Sin embargo, también hay diferentes candidatos para el operador hamiltoniano que surge al tomar la segunda potencia de cada extensión autoadjunta de$P$con dominio (1). El espectro está formado por las segundas potencias los elementos del espectro de la correspondiente extensión seof-adjoint$\hbar^2(\alpha + 2\pi n)^2$

¿Viajen? ¿Comparten una base?

El impulso y el viaje hamiltoniano asociado y una base común es el escrito anteriormente para el impulso.

Diferentes extensiones autoadjuntas y diferentes hamiltonianos no conmutan, como se prueba fácilmente mediante inspección directa.

• ¿Estos problemas tienen contrapartes o explicaciones en la mecánica clásica? ( empujar, empujar )

no sé

Y, lo que es más importante: ¿cuáles son las referencias buenas, completas y legibles donde uno puede ir y obtener más información sobre esto?

No sé, muchos resultados están difundidos en la literatura. Es difícil recopilarlos todos. Una buena referencia es el libro de texto de Reed y Simon: Vol I y II.

ANEXO . Un punto técnico merece una pequeña discusión. A veces, cuando se introducen dominios de autoadjunción como se indica arriba en el espacio$L^2(I)$, dónde$I\subset \mathbb{R}$es un intervalo acotado, las funciones$\psi$Se requiere que sean absolutamente continuos . Este requisito está realmente incluido en la condición de que la derivada débil $\psi'$existe y está incluido en$L^1$(o$L^2$ya que$I$está ligado). De hecho, una función medible$\psi:I \to \mathbb{C}$es absolutamente continua si y sólo si admite derivada débil en$L^1(I)$. En este caso, como la función es absolutamente continua, su derivada existe en casi todas partes y coincide con$\psi'$.

La declaración$p = -i \hbar d/dx$es la expresión de un operador$p$cuando está escrito en una base dada (la base de la posición). Este operador representa la cantidad física que llamamos cantidad de movimiento. Ambas declaraciones no tienen ninguna relación con el hamiltoniano y seguirán siendo ciertas sin importar el hamiltoniano que tenga.

Dicho esto, si se propone considerar casos estrictamente no físicos, como una energía potencial infinita, es posible que a veces deba proceder con cuidado.

En caso de duda con el pozo cuadrado infinito, vuelva a algo más físico, como un pozo cuadrado finito o un pozo finito con un fondo plano y un gradiente suave en los bordes. Entonces todo es (al menos conceptualmente) sencillo, y puede examinar lo que sucede en el límite donde la profundidad del pozo tiende a infinito.