¿Importancia física de ningún operador de impulso autoadjunto en la mitad de la línea?

1. Minutos antes en la conferencia el Prof. Schuller está calculando los índices de deficiencia $d_{\pm}$. los núcleos de$P^{\ast}\pm i$están dadas por funciones exponencialmente crecientes/decrecientes, respectivamente. En media línea$\mathbb{R}_{+}$precisamente una de estas funciones exponenciales no es integrable al cuadrado, por lo que los dos índices de deficiencia$d_{\pm}$se vuelve diferente, y no existe una extensión autoadjunta .

2. Por otro lado, un laboratorio/experimento de física tiene en la práctica una extensión finita, por lo que un modelo matemático más realista viene dado por un intervalo compacto$I=[a,b]$, donde los dos índices de carencia$d_{\pm}$coinciden, y la extensión autoadjunta existe.

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Desde la perspectiva de un matemático, puede definir un operador de "momento" en la línea media, pero debe permitir funciones vectoriales 2d en lugar de funciones escalares. El problema es que la diferenciación en$[0,\infty)$tiene una sola condición de punto final en$x=0$, y cualquier configuración (o falta de configuración) da como resultado un operador no autoadjunto. Al introducir una variable de cantidad de movimiento bidimensional, existen dos condiciones y una familia de condiciones de un parámetro que son equivalentes a conectar los dos componentes complejos en$0$por un multiplicador$e^{i\theta}$. Si tal cosa es física o no, es algo que no puedo juzgar.