Dado un operador simétrico (densamente definido) en un espacio de Hilbert, puede haber muchas extensiones autoadjuntas. Este podría ser el caso de un operador de Schrödinger con un potencial "malo". Hay uno "más pequeño" (Friedrichs) y uno más grande (Krein), y todos los demás están en algún sentido en el medio. Considerando las correspondientes ecuaciones de Schrödinger, a cada una de estas extensiones le corresponde un grupo unitario (completamente diferente) que la resuelve. Mi pregunta es: ¿cuál es el significado físico de estas extensiones? ¿Cómo se distinguen los diferentes grupos unitarios? ¿Hay alguno que sea físicamente "relevante"? ¿Por qué se elige tan a menudo la extensión de Friedrichs?
El propio operador diferencial (definido en algún dominio) codifica información local sobre la dinámica del sistema cuántico. Sus extensiones autoadjuntas dependen precisamente de las elecciones de las condiciones de contorno de los estados sobre los que actúa el operador, por lo tanto, de la información global sobre la cinemática del sistema físico.
Esto es cierto incluso de forma totalmente abstracta, matemáticamente: en un sentido preciso, las extensiones autoadjuntas de los operadores simétricos (en condiciones suaves) se clasifican por elecciones de datos de límite.
Más información sobre esto se recoge aquí
http://ncatlab.org/nlab/show/self-adjoint+extension
Consulte las referencias sobre aplicaciones en física allí para ver ejemplos de elecciones de condiciones de contorno en física y cómo conducen a extensiones autoadjuntas de hamiltonianos simétricos. Y vea el artículo de Wei-Jiang allí para conocer la noción completamente general de las condiciones de contorno.
Una interpretación típica de las extensiones autoadjuntas para el hamiltoniano libre en un segmento de línea es que obtienes una familia de cuatro paramétricas de posibles condiciones de contorno, para preservar la unitaridad. Algunos simplemente "rebotan" la ola, otros la "teletransportan" de una pared a otra. Por lo tanto, también es tradicional imaginar este segmento como un círculo al que se le ha quitado un punto, y luego se tiene ganas de estudiar "interacciones de puntos" o generalizaciones de potenciales de dirac-delta. El tema resurge de vez en cuando, pero seguro que se pueden excavar algunas referencias antiguas a partir de M. Carreau. Interacción puntual de cuatro parámetros en sistemas cuánticos 1d. Journal of Physics A, 26:427, 1993. En algunos trabajos, cito también a Seba y Polonyi.
A veces las extensiones están ligadas a la cuestión del dominio de definición para el operador y luego a la existencia de anomalías. Aquí Phys.Rev.D34: 674-677, 1986 , " Anomalías en las leyes de conservación en el formalismo hamiltoniano ", revisitado por el mismo autor, JG Esteve, posteriormente en Phys.Rev.D66:125013,2002 ( http://arxiv .org/abs/hep-th/0207164 ). Estos temas se viven desde hace años en la universidad de Zaragoza; algún material relacionado, quizás más sobre condiciones de contorno que sobre extensiones, es http://arxiv.org/abs/0704.1084 , http://arxiv.org/abs/quant-ph/0609023 , http://arxiv.org/ abs/0712.4353
András Batkai
Emilio Pisanty