Dominio del operador de momento simétrico frente al operador de momento autoadjunto

Question

Dominio del operador de momento simétrico frente al operador de momento autoadjunto

jacob schneider

¿Hay algún ejemplo de una función que no esté en el dominio del operador de momento simétrico 'ingenuo' (pero no autoadjunto)? $p:=-i\frac{d}{dx}$ pero está en el operador de impulso autoadjunto 'verdadero' $p:= \left(-i\frac{d}{dx}\right)^\dagger$ .

Estoy tratando de entender las diferencias matemáticas entre simetría y autoadjunción y pensé que este sería un ejemplo esclarecedor. ¿Podría también mostrar por qué este ejemplo en el dominio del operador de impulso autoadjunto usando la definición del dominio adjunto?

D (A^{†}) := {ϕ \in H | \exists ϕ_{1} \in H con ⟨ ϕ_{1} | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | A ψ ⟩ \forall ψ \in D (A)}

$D(A^\dagger) := \{ \phi \in {\cal H}\:|\: \exists \phi_1 \in {\cal H} \mbox{ with} \: \langle \phi_1 |\psi \rangle = \langle \phi | A \psi\rangle \:\: \forall \psi \in D(A)\}$

Esta pregunta fue motivada por la lectura de esta fantástica respuesta de Valter Moretti.

Keith McClary

Me gusta el ejemplo en la respuesta de Branimir Ćaćić a una pregunta similar "el operador de impulso

i \frac{d}{d x}

$i\tfrac{d}{dx}$ en el intervalo

[0, 1]

$[0,1]$ (o su intervalo finito de elección) es simétrico pero no esencialmente autoadjunto; tiene un círculo completo de diferentes extensiones autoadjuntas, cada una de las cuales proviene precisamente de imponer una condición de límite cuasi periódica de la forma

f (0) = e^{2 π i β} f (1)

$f(0) = e^{2\pi i \beta}f(1)$ ".

Keith McClary

Tienes un malentendido: el adjunto de un operador simétrico no significa lo mismo que su extensión autoadjunta. Pueden ser el mismo operador, pero no necesariamente.

jacob schneider

@KeithMcClary ¿No es el adjunto de un operador simétrico siempre una extensión? Mi pregunta no se basa en que el adjunto sea auto adjunto (aunque creo que es para el operador de impulso). Mi pregunta es solo sobre un vector en el dominio del operador adjunto pero no en el dominio del operador original.

Keith McClary

Determinación del dominio del adjunto de

T = i \frac{d}{d x}

$T = i\frac{d}{dx}$ en

C^{1} [0, 1] \subseteq L^{2} [0, 1]

$C^1[0,1] \subseteq L^2[0,1]$ .

Respuestas (1)

Dominio del operador de momento simétrico frente al operador de momento autoadjunto

Me gusta el ejemplo en la respuesta de Branimir Ćaćić a una pregunta similar "el operador de impulso $i\tfrac{d}{dx}$ en el intervalo $[0,1]$ (o su intervalo finito de elección) es simétrico pero no esencialmente autoadjunto; tiene un círculo completo de diferentes extensiones autoadjuntas, cada una de las cuales proviene precisamente de imponer una condición de límite cuasi periódica de la forma $f(0) = e^{2\pi i \beta}f(1)$ ".
Tienes un malentendido: el adjunto de un operador simétrico no significa lo mismo que su extensión autoadjunta. Pueden ser el mismo operador, pero no necesariamente.
@KeithMcClary ¿No es el adjunto de un operador simétrico siempre una extensión? Mi pregunta no se basa en que el adjunto sea auto adjunto (aunque creo que es para el operador de impulso). Mi pregunta es solo sobre un vector en el dominio del operador adjunto pero no en el dominio del operador original.
Determinación del dominio del adjunto de $T = i\frac{d}{dx}$ en $C^1[0,1] \subseteq L^2[0,1]$ .

anomalía quiral · Answer 1

Definir

\begin{matrix} (1) & PAG \equiv - i \frac{d}{d X} \end{matrix}

$P \equiv -i\frac{d}{dx} \tag{1}$ y

\begin{matrix} (2) & ψ (X) = | X | Exp (- X^{2}) . \end{matrix}

$\psi(x) = |x|\,\exp(-x^2). \tag{2}$ Dejar

D (P)

$D(P)$ denota el dominio de

P

$P$ . Claramente,

ψ

$\psi$ no está dentro

D (P)

$D(P)$ , porque no es diferenciable en

x = 0

$x=0$ . Sin embargo,

ψ

$\psi$ está en el dominio de

P^{†}

$P^\dagger$ , porque

\begin{matrix} (3) & ⟨ ψ | PAG ϕ ⟩ \equiv - i \int_{- \infty}^{\infty} d X ψ^{*} (X) \frac{d}{d X} ϕ (X) \end{matrix}

$\langle \psi|P\phi\rangle \equiv -i\int^\infty_{-\infty}dx\ \psi^*(x)\frac{d}{dx}\phi(x) \tag{3}$ está bien definido para todos

ϕ \in D (P)

$\phi\in D(P)$ , y

P^{†}

$P^\dagger$ se define por la condición

\begin{matrix} (4) & ⟨ {PAG}^{†} ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ψ | PAG ϕ ⟩ \end{matrix}

$\langle P^\dagger\psi|\phi\rangle = \langle \psi|P\phi\rangle \tag{4}$ para todos

ϕ \in D (P)

$\phi\in D(P)$ . El dominio

D (P)

$D(P)$ es denso, por lo que

ψ

$\psi$ puede ser arbitrariamente bien aproximado por una función en

D (P)

$D(P)$ , simplemente suavizando el "torcedura" en un vecindario arbitrariamente pequeño de

x = 0

$x=0$ , pero

ψ

$\psi$ en sí mismo no está en

D (P)

$D(P)$ , ni siquiera después de tener en cuenta el hecho de que los vectores en este espacio de Hilbert están representados por funciones módulo funciones de norma cero. No podemos suavizar la "torcedura" en

x = 0

$x=0$ en

ψ

$\psi$ agregando cualquier función de norma cero.

Editar:

El valor de $P^\dagger$ actuando sobre el ejemplo (2) es

{PAG}^{†} ψ = - i (s (X) - 2 X | X |) Exp (- X^{2}),

$P^\dagger\psi = -i\big(s(x)-2x|x|\big)\exp(-x^2),$ dónde

s (x) = \pm 1

$s(x)=\pm 1$ es el signo de

x

$x$ . Esto se puede comprobar comprobando que cumple (4) para funciones diferenciables arbitrarias

ϕ

$\phi$ , lo cual es posible porque el punto

x = 0

$x=0$ se puede omitir del integrando sin cambiar el valor de la integral.

Tengo algunos problemas para entender por qué la función definida aún estaría en el dominio del adjunto. ¿Cuál sería el valor del adjunto actuando sobre el ejemplo definido?
@JacobSchneider $P^\dagger$ no es un operador diferencial en el sentido ordinario. Coincide con el operador diferencial $P$ cuando actúa sobre funciones diferenciables, pero $P^\dagger$ también se define como un operador abstracto en otras funciones. El espacio de Hilbert no es un conjunto de funciones. Es un conjunto de vectores abstractos. Un vector abstracto puede ser representado (no únicamente) por una función, pero no es una función. Similarmente, $P$ y $P^\dagger$ son operaciones lineales en el espacio de Hilbert (vector). $P$ puede ser representado por un diff op, y también puede $P^\dagger$ en algunas funciones, pero no en general.
@JacobSchneider Ese comentario aborda por qué la función definida está en el dominio del adjunto. para abordar lo que $P^\dagger\psi$ sería, agregué un apéndice a la respuesta. (¡Buena pregunta!)
Esto tiene sentido gracias. El apéndice realmente me ayudó porque para estar en el dominio del adjunto ese valor tiene que estar bien definido, así que ver ese valor me convenció. ¡Gracias por la respuesta!
Cualquier pista sobre cómo determinaste $P^\dagger\psi$ ? Lo he probado para algunos valores de $\phi(x)$ ¡y funciona! Pero me parece mágico.
Hice una integración por partes y ahora lo veo. ¿Es esto cierto: siempre que tenga una derivada en casi todos los puntos, entonces estará en el dominio del adjunto? @DanYand
@JacobSchneider Sí, creo que esa es la idea correcta. Si la derivada no existe solo en puntos aislados, entonces podemos omitir esos puntos del integrando sin cambiar el valor de la integral, por lo que el operador aún está bien definido en los vectores de estado representados por esas funciones. Y tienes razón, así es exactamente como lo determiné. $P^\dagger\psi$ . acabo de evaluar $-i\,d/dx\,\psi$ en todos los puntos donde existe la derivada, y luego ignoró descaradamente el único punto donde no existe.

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