¿Existe una función que sea integrable al cuadrado y que no tienda a cero en el infinito pero que pertenezca al dominio del operador de cantidad de movimiento?

La respuesta corta es: No, no existe tal función.

De hecho, es falso que$f\in L^2(\mathbb R, dx)$se desvanece en el infinito como es bien sabido (también hay algunas respuestas en PSE sobre este tema) pero también es cierto que, si$D(P)$es el dominio del operador de cantidad de movimiento$P$sobre la línea real,

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$f \in D(P)\quad$implica que$\quad f(x) \to 0\quad$como$\quad x\to \pm\infty$.

Probemos este hecho.

En primer lugar, observe que una de las formas equivalentes de definir$D(P)$con el fin de tener un operador de cantidad de movimiento adecuadamente autoadjunto en$L^2(\mathbb R , dx)$es

$$D(P) := \left\{\: \left.f \in L^2(\mathbb R, dx)\:\right|\: \exists \: f' \mbox{in weak sense and } f' \in L^2(\mathbb R, dx)\right\}\:,$$ y luego donde$f'$es la derivada débil de$f$, el operador de cantidad de movimiento se define como el operador autoadjunto $$Pf = -i\hbar f'\:.$$ Entonces, supongamos$f\in D(P)$. Desde$[s,s']$tiene medida de Lebesgue finita$f\in L^2([s,s'], dx)$implica$f\in L^1([s,s'], dx)$, entonces$F(s) := \int_{s'}^s f'(x)dx$existe Es obvio que también es una función continua en vista de las propiedades de la integral. De los teoremas conocidos del análisis real también sabemos que $$f(s')-f(s) = \int_s^{s'} f'(x)dx \quad \mbox{almost everywhere}\:.\tag{1}$$ En particular, podemos arreglar$f$ser continuo en todas partes ya que, modificando$f$sobre un conjunto de medida cero,$f(x)= f(s)+ F(x)$.
Ahora podemos aprovechar la desigualdad de Chaucy-Schwartz en (1): $$|f(s')-f(s)| \leq \int_s^{s'} |f'(x)| |1|dx \leq \sqrt{\int_s^{s'} |f'(x)|^2 dx}\sqrt{\int_{s}^{s'}|1|^2 dx} \leq ||f'||_{L^2} \sqrt{|s-s'|}\:.$$ Darse cuenta de$||f'||_{L^2} <+\infty$por hipótesis. El estimado $$|f(s)-f(s')| \leq ||f'||_{L^2} \sqrt{|s-s'|},$$ que es válido en todas partes con nuestra elección de$f$, implica que$f$es uniformemente continua en todo$\mathbb R$.

Para concluir demuestro que

PROPUESTA . Si$f: \mathbb R \to \mathbb C$es uniformemente continua y$f\in L^p(\mathbb R, dx)$, para algunos$p>0$(En particular$p=2$) entonces$f(x) \to 0$ambos para$x\to +\infty$y$x\to -\infty$.

PRUEBA. Supongamos que es falso que $f(x) \to 0$para$x\to +\infty$(el otro caso es análogo). Podemos suponer que$f$tiene valor real, ya que si la tesis es falsa o$Ref$o$Im f$(que pertenecen a$L^p$y son uniformemente continuos) no tienden a$0$como$x \to \pm \infty$. Por lo tanto, hay$M>0$y una secuencia$x_n \to +\infty$como$n\to +\infty$tal que$|f(x_n)| >M$. Como consecuencia, puedo extraer una subsecuencia que satisfaga$f(x_{n_k})>M$para cada$k$o$f(x_{n_k})< -M$para cada$k$. Supongo que lo primero es válido ya que lo segundo puede tratarse de manera análoga. Desde$x_{n_k} \to +\infty$como$k\to +\infty$, puedo extraer otra subsecuencia$x_{n_{k_h}} \to +\infty$como$h\to +\infty$tal que$x_{n_{k_{h+1}}}- x_{n_{k_h}}>1$y, como se dijo$f(x_{n_{k_h}})>M$.

En aras de la simplicidad, en adelante defino$s_h := x_{n_{k_h}}$.

Ahora observe que, por continuidad uniforme, si$\epsilon = M/2$, hay$\delta>0$tal que

$$|f(s)-f(s_h)|< M/2 \quad \mbox{if $|s-s_h|<\delta$ for every $h\in \mathbb N$.}$$
Por eso $$-M/2 <f(s)- f(s_h)< M/2$$ para que, en particular $$M/2 < f(s_h) -M/2 < f(s)\quad \mbox{if $|s-s_h|<\delta$.}$$ En resumen, tomando$\delta < 1/2$si es necesario, tenemos una clase infinita de intervalos disjuntos por pares$I_h = [s_h-\delta,s_h+\delta]$con idéntica longitud$2\delta>0$dónde$f(s) > M/2 >0$. Por lo tanto $$\int_{\mathbb R} |f(x)|^p dx \geq \sum_{h\in \mathbb N} \int_{I_h} |f(x)|^p dx \geq \sum_{h\in \mathbb N} 2\delta M^p/2^p= +\infty\:.$$ Esto es imposible ya que$f\in L^p(\mathbb R, dx)$y por lo tanto dichas secuencias no existen y$f(x) \to 0$para$x\to \pm \infty$. QED