He visto el término carga topológica definido de manera matemática abstracta como un esquema de etiquetado esencialmente para partículas que sigue ciertas reglas. Sin embargo, me quedo con dudas al tratar de explicar qué propiedades físicas de un sistema conducen a la necesidad de introducir este nuevo tipo de "carga".
Si hay alguna diferencia, estoy interesado en estudiar las propiedades estadísticas de los sistemas Quantum Hall (y en particular la interferometría anyónica), donde las diferentes cargas topológicas contribuyen al número total de estados cuánticos.
Excitaciones locales de cuasipartículas y excitaciones topológicas de cuasipartículas
Para comprender y clasificar las cuasipartículas anónicas en estados topológicamente ordenados, como los estados FQH, es importante comprender las nociones de excitaciones locales de cuasipartículas y excitaciones topológicas de cuasipartículas. Primero, definamos la noción de excitaciones "similares a partículas".
Consideremos un sistema con simetría de traslación. El estado fundamental tiene una densidad de energía uniforme. Si tenemos un estado con una excitación, podemos observar la distribución de energía del estado sobre el espacio. Si para alguna área local la densidad de energía es mayor que la del estado fundamental, mientras que para el resto del área la densidad de energía es la misma que la del estado fundamental, se puede decir que hay una excitación "similar a una partícula", o una cuasipartícula, en este estado. área. Las cuasipartículas definidas así se pueden dividir en dos tipos. El primer tipo puede ser creado o aniquilado por operadores locales, como un giro giratorio. Por lo tanto, no son robustos bajo perturbaciones. El segundo tipo son estados robustos. La mayor densidad de energía local no puede ser creada o eliminada por ningúnoperadores locales en esa zona. Nos referiremos al primer tipo de cuasipartículas como cuasipartículas locales, y al segundo tipo de cuasipartículas como cuasipartículas topológicas.
Como ejemplo simple, considere el modelo 1D Ising con condición de frontera abierta. Hay dos estados básicos, gira todo hacia arriba o todo hacia abajo. Simplemente cambiar un giro del estado fundamental conduce al segundo estado excitado y crea una cuasipartícula local. Por otro lado, la primeraestado excitado parece un muro de dominio. Por ejemplo, los espines de la izquierda están todos hacia arriba mientras que los de la derecha están hacia abajo, y la pared de dominio entre el dominio de arriba y el dominio de abajo es una cuasipartícula topológica. Voltear los giros junto a la pared del dominio mueve la cuasipartícula pero no puede eliminarla. Tales cuasipartículas están protegidas por la condición de frontera. Siempre que los dos giros de los bordes sean opuestos, habrá al menos una pared de dominio o una cuasipartícula topológica en la masa. Además, un spin flip puede verse como dos paredes de dominio.
A partir de las nociones de cuasipartículas locales y cuasipartículas topológicas, también podemos introducir una noción de tipos de cuasipartículas topológicas (es decir , cargas topológicas ), o simplemente, de tipos de cuasipartículas. Decimos que las cuasipartículas locales son de tipo trivial, mientras que las cuasipartículas topológicas son de tipo no trivial. También dos cuasipartículas topológicas son del mismo tipo si y solo si difieren en cuasipartículas locales. En otras palabras, podemos convertir una cuasipartícula topológica en otra aplicando algunos operadores locales. El número total de tipos topológicos de cuasipartículas (incluido el tipo trivial) también es una propiedad topológica. Resulta que esta propiedad topológica está directamente relacionada con otra propiedad topológica para estados topológicos 2+1D:El número de tipos topológicos de cuasipartículas es igual a la degeneración del estado fundamental en el toro . Esta es una de las muchas relaciones sorprendentes y profundas en orden topológico.
Consulte también ¿Por qué las estadísticas fraccionarias y no abelianas son comunes para los cargos fraccionarios? , Una comprensión física del fraccionamiento , y ¿Cuál es la diferencia entre el fraccionamiento de carga en 1D y 2D?
La distinción entre cargas "ordinarias" y topológicas proviene del hecho de que la conservación de las cargas ordinarias es una consecuencia del teorema de Noether , es decir, cuando el sistema bajo consideración posee una simetría, entonces según el teorema de Noether, la carga correspondiente es conservado.
Las cargas topológicas, por otro lado, no corresponden a una simetría del modelo de sistema dado, y se derivan de un procedimiento que puede llamarse cuantificación topológica. Por favor vea el trabajo seminal de Orlando Alvarez explicando algunos aspectos de este tema. Estas cargas topológicas corresponden a invariantes topológicos de variedades relacionadas con el problema físico.
Uno de los ejemplos más básicos es la condición de cuantización de Dirac , que implica la cuantización de la carga magnética en unidades del recíproco de la carga eléctrica. Esta condición está relacionada con la cuantización de la primera clase de Chern del paquete lineal cuántico. También es posible obtener la condición de cuantificación a partir del requisito de valor único de la integral de trayectoria. La existencia de las invariantes topológicas está relacionada con una topología no trivial de la variedad en consideración, por ejemplo, grupos de homotopía que no desaparecen, consulte la siguiente revisión de VP Nair.
Por supuesto, las cargas topológicas también pueden ser no abelianas; un ejemplo básico de este fenómeno es el monopolo de 't Hooft-Polyakov, donde estas soluciones tienen cargas no abelianas correspondientes a vectores de peso del dual del grupo de calibre continuo. Consulte la siguiente reseña de Goddard y Olive.
Debe enfatizarse que la distinción entre cargas ordinarias y cargas topológicas depende del modelo, y las cargas "ordinarias" en algún modelo de un sistema emergen como cargas topológicas en otro modelo del mismo sistema. Por ejemplo, la carga eléctrica de una partícula se puede obtener como carga topológica en una descripción de Kaluza-Klein. Consulte la sección 7.6 aquí en Marsden y Ratiu.
Las cargas topológicas corresponden a veces a parámetros enteros del modelo, por ejemplo, Witten pudo obtener la cuantificación del número de colores a partir de la cuantificación topológica (semiclásica) del coeficiente del término Wess-Zumino del modelo Skyrme.
Un ejemplo simple, donde los números cuánticos se pueden obtener como cargas topológicas es el oscilador armónico isotrópico. Si consideramos un oscilador armónico isotrópico en dos dimensiones, entonces sus hipersuperficies de energía son -esferas, que pueden verse como haces circulares sobre un -esfera por la fibración de Hopf. los -las esferas son los espacios de fase reducidos de las (hipersuperficies de energía) del oscilador bidimensional. En la teoría cuántica, las áreas de estas esferas deben cuantificarse para admitir un haz de líneas cuánticas. Esta condición de cuantificación es equivalente a la cuantificación de la energía del oscilador armónico.
En realidad, estas representaciones alternativas de los sistemas físicos, de modo que las cargas ordinarias emergen como cargas topológicas, ofrecen posibles explicaciones para la cuantización de estas cargas en la naturaleza (el modelo de Kaluza-Klein para la carga eléctrica, por ejemplo).
Una dirección actual de investigación en este sentido es encontrar "explicaciones" topológicas a las cargas fraccionarias. Uno de los ejemplos conocidos de es la expansión de la hipercarga fraccionaria de los quarks (en unidades de ), lo que puede explicarse a partir del requisito de la cancelación de anomalías (que es topológica) del modelo estándar, donde la contribución de los quarks debe multiplicarse por (debido a los tres colores). Además de las anomalías, se sabe que la existencia de campos de diferentes representaciones irreducibles en un mismo modelo y configuraciones anudadas por separado puede dar lugar a cargas fraccionarias.
Flavina