Teorema de Stone-von Neumann

Comenté que el teorema de Stone-von Neumann no es una prueba para la declaración al comienzo de la pregunta. Las demostraciones originales del teorema de Wielandt-Wintner (probablemente solo en 1947-1948, mientras que el teorema de Stone-von Neumann ya tenía una demostración satisfactoria de von Neumann en 1931) se encuentran en:

Wintner, A. - The Unboundness of Quantum-Mechanical Matrices (1947, The Physical Review, Vol. 71, p. 738-739)

Wielandt, H. - Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik (1948, Mathematische Annalen, p. 21).

La esencia de la prueba de Wielandt es la nota 6 de la página Wiki citada:

La importancia de tener operadores ilimitados de coordenadas y cantidad de movimiento en el eje real (1D) es que el "movimiento cuántico" de la partícula no está restringido, en el sentido de que la coordenada o la cantidad de movimiento pueden medirse en un valor alto arbitrario (infinito en el sentido opuesto). límite), es decir, matemáticamente, los operadores ilimitados no tienen un espectro limitado.

Teorema: si dos operadores acotados (no necesariamente autoadjuntos) $\hat{q}$y$\hat{p}$en un espacio de Hilbert satisfacer el CCR

$$[\hat{q},\hat{p}]~=~i\hbar~{\bf 1}, \qquad i\hbar~\in~\mathbb{C},\tag{1}$$ entonces $i\hbar=0$.

Prueba indirecta: (Esta es esencialmente la prueba de la Ref. 1.) Suponga

$$i\hbar~\neq~ 0.\tag{2}$$ Desde $\hat{p}$está acotado, podemos cambiar $$\hat{p}^{\prime}~:=~\hat{p}+ b{\bf 1}\tag{3}$$ por una cantidad positiva finita $b>0$, de modo que $\hat{p}^{\prime}$es un operador invertible, por lo que $\hat{p}^{\prime}$y $\hat{p}^{\prime -1}$ambos son operadores acotados. Nótese que el operador primado $\hat{p}^{\prime}$también cumple con el CCR (1). Dejemos la notación prima de ahora en adelante. los espectros $$\sigma(\hat{q}\hat{p})~=~\sigma(\hat{p}\hat{q}\hat{p}\hat{p}^{-1})~=~\sigma(\hat{p}\hat{q})\tag{4}$$ de los operadores acotados $\hat{q}\hat{p}$y $\hat{p}\hat{q}$deben ser conjuntos acotados iguales. Por otro lado, el CCR (1) muestra que los espectros están desplazados $$\sigma(\hat{q}\hat{p})~\stackrel{(1)}{=}~\sigma(\hat{p}\hat{q}) +i\hbar\tag{5}$$ La única forma en que las ecs. (2), (4) y (5) podrían no ser mutuamente contradictorios si los espectros son los conjuntos vacíos. Sin embargo, esto contradice el hecho general (mencionado, por ejemplo, en Wikipedia y MO.SE ) de que

Realidad: Todo operador acotado tiene un espectro no vacío.

$\Box$

Observación: Si además suponemos que$\hat{q}$y$\hat{p}$son autoadjuntos, no necesitamos usar el hecho anterior. Entonces el conmutador (1) es anti-autoadjunto, de modo que$\hbar\in\mathbb{R}$debe ser real Además el operador acotado

$$\hat{s}~:=~\hat{q}\hat{p}-\frac{i\hbar}{2}~\stackrel{(1)}{=}~\hat{p}\hat{q} +\frac{i\hbar}{2}~=~\hat{s}^{\dagger}, \tag{6}$$ es autoadjunto, y por lo tanto (del teorema espectral ) tiene un espectro real no vacío $$\emptyset~\neq~\sigma(\hat{s})~\stackrel{(6)}{=}~\sigma(\hat{q}\hat{p})-\frac{i\hbar}{2}~\stackrel{(1)}{=}~\sigma(\hat{p}\hat{q}) +\frac{i\hbar}{2}, \tag{7}$$ que es la ec. (5) sin la escapatoria de los conjuntos vacíos. $\Box$

Referencias:

1. A. Winterner, Phys. Rev. 71 (1947) 738 .

Las variables/operadores conjugados están relacionados por la transformada de Fourier, es decir, los estados (cuánticos) de un observable son la transformada de Fourier del otro y, como tal, solo uno de ellos puede tener un soporte compacto (a menos que sea una función cero). Esto se conoce como la relación de Incertidumbre en las transformadas de Fourier . Intuitivamente, significa que la dispersión de una variable y su dual de Fourier son inversamente proporcionales, lo que se traduce físicamente, por ejemplo, en que la posición se localiza (concentra) y el impulso se deslocaliza (dispersa). Para un enfoque de prueba, vea la respuesta de Qmechanic.

Físicamente, todos estos tipos de variables/observables son incompatibles (no conmutables).$XP - PX \neq 0$, dónde$P \propto F^{-1} X F$con$F: L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R})$), ya que no se pueden medir simultáneamente con una precisión arbitraria. En otras palabras, las incertidumbres en las dos variables siempre están limitadas por el promedio de su conmutador (incluso si realizó las mediciones por separado en un conjunto de infinitos sistemas cuánticos preparados de manera idéntica). Estas incertidumbres son una propiedad intrínseca de cualquier estado cuántico.