Valor esperado del conmutador en mecánica cuántica

Este es un problema muy bueno en la teoría de operadores en espacios separables de Hilbert. El truco para darse cuenta es que su$|a\rangle$no está en el dominio del conmutador, por lo tanto, su ecuación 1) no tiene sentido. Más precisamente, tenemos el siguiente lema:

Lema Sea C el conmutador C(A, B; D(C)), en el sentido de que:

$$\forall \phi \in D(C) \subseteq D(AB) \cap D(BA), (AB-BA)\phi = C\phi$$ Supongamos además que A es autoadjunto con un espectro de punto no vacío. Una condición necesaria para que los vectores propios de A pertenezcan a D(C) es que C asigne cada uno de los vectores propios de A a su complemento ortogonal.

prueba _ Sean Aϕ = aϕ y ϕ ∈ D(C). Porque el valor propio a es real y porque$|\langle ϕ|Bϕ\rangle| < ∞$, tenemos la igualdad$\langle ϕ|Cϕ\rangle = \langle ϕ|(AB − BA)ϕ\rangle = 0$. Eso es$\langle ϕ|Cϕ\rangle = 0,$o ϕ es ortogonal a Cϕ.

Supongamos ahora que$C = 1_{\mathcal{H}}$. Entonces, para tener el vector propio$\phi$en el dominio del conmutador, se sigue del lema anterior que$\phi = 0$.

@Qmechanic respondió a su pregunta en los comentarios, pero evidentemente el mensaje no se entendió automáticamente. Permítame tratar de ilustrarlo con la demostración de rutina a la que probablemente estuvo expuesto cuando aprendió los usos de la notación de frenos de Dirac.

La respuesta corta es que la trazabilidad de la identidad en la derecha de la ecuación del conmutador para un espacio de Hilbert de dimensión infinita conduce a$\langle a | a\rangle \neq$1, porque en realidad es singular. Entonces tu ecuación 1) está bien, ya que la derecha es infinita. Pero su ecuación 2) es defectuosa, ya que la expresión relevante involucra un 0 multiplicando un infinito más fuerte, que asciende a infinito, nuevamente, como en 1).

Ilustraré esto con$A=\hat x$y$B=\hat p /\hbar$, como en los cursos QM estándar. Absorber$\hbar$en$\hat p$para hacer el formalismo más familiar.

A partir de la ecuación del operador estándar$[\hat x ,\hat p]=i 1\!\!1$, primero tome sus elementos de matriz no diagonal, antes de construir su 2),

Es decir, la expresión diverge para$x\to y$, como 1). El punto crucial es que a medida que el prefactor (xy) disminuye, el elemento de la matriz que lo multiplica diverge y más rápido .

Al estar disponibles todos los elementos de la matriz de un conmutador, como se indicó anteriormente, puede reconstituir sus ecuaciones de operador originales a partir de estos, mediante la inserción de resoluciones de la identidad en cada lado.