¿Relación entre la ecuación de onda de la luz y la función de onda del fotón?

Supongamos que en nuestra configuración experimental de doble rendija con las notaciones habituales d , D , tenemos un haz de luz de frecuencia conocida ( v ) y longitud de onda ( λ ) - por lo que podemos describirlo como

(1) ξ 0 = A pecado ⁡ ( k X − ω t ) .
Pasa a través de los dos agujeros y avanza haciendo las cosas de interferencia habituales, por lo que la forma final de la onda será
(2) ξ = ξ 1 + ξ 2 = 2 A porque ⁡ ( tu / 2 ) pecado ⁡ ( k X − ω t + 0.5 ∗ tu )
dónde tu es la diferencia de fase.

Podemos convertir la diferencia de fase tu diferencia de camino q . Ahora elegimos el punto de interés en la pantalla ( s ) , (que depende de la diferencia de trayectoria q y, por lo tanto, de la diferencia de fase u). La amplitud en s será

(3) ξ = 2 A porque ⁡ ( a s ) pecado ⁡ ( k X − w t + a s ) ,
dónde a es constante

Ahora bien, esta amplitud es un conjunto de ondas que interfieren con diferentes fases, y es función de las variables s , X , t . Desde que coloqué la pantalla a cierta distancia fija X = D de la pared con hendiduras, ξ se reduce a una función de dos variables s , t . reescritura

(4) ξ D = 2 A porque ⁡ ( a s ) pecado ⁡ ( a s − w t + k D ) ,
esta es también una descripción de onda (pero con un significado diferente).

La pantalla está a lo largo de nuestro X -eje (o para ser precisos s -eje). La intensidad obtenida en la pantalla es proporcional al cuadrado absoluto de la amplitud de onda escrita arriba, que a su vez depende de s (y t también).

Pero la intensidad también es proporcional al número de fotones. Así que postulamos que la probabilidad de que un fotón golpee un cierto s es proporcional a la

(5) intensidad = | amplitud | 2 .

Ahora, la función ξ He escrito arriba es la función de onda ( ψ ) de la mecánica cuántica con s actuando como X (en ψ )? Si no, ¿cuál es la relación entre ellos? (Tendré algunas cosas adicionales que preguntar dependiendo de su respuesta). ¡Gracias!

Cometiste muchos errores, será mejor que veas el artículo en Wikipedia con la doble rendija.
Gracias por señalar En una etapa posterior, he usado indistintamente como u/2. De todos modos he corregido lo mismo. ¿Ese es el error que señalabas?

Respuestas (2)

Las funciones que escribe son soluciones de las ecuaciones de Maxwell (si piensa en ellas como componentes cartesianos solitarios) y, como tales, tienen una relación exacta con el estado cuántico de un fotón del campo de fotones cuánticos.

Ahora, si se trata de una función de onda de fotones depende de sus definiciones. Si desea escribir el estado cuántico de un fotón único, llamado estado de Fock del campo de fotones cuánticos en coordenadas de posición, entonces está condenado (los componentes de coordenadas de posición son lo que la mayoría de la gente entiende por "función de onda") . No existe una descripción del fotón cuyo módulo al cuadrado le indique la probabilidad de encontrar un fotón, como ocurre con la ecuación no relativista de Schrödinger para el electrón. Esta carencia tiene que ver con el hecho de que no existe una descripción no relativista del fotón: las ecuaciones de Maxwell ya son totalmente relativistas y, de hecho, se pueden escribir de una forma que muestre que son análogas a la ecuación de Dirac para una partícula sin masa.

Sin embargo, lo que puede hacer es describir la amplitud de probabilidad de que un fotón sea absorbido por un detector ideal en un punto dado en el espacio y el tiempo. Esta amplitud de probabilidad es lo que has anotado en tu pregunta.

Esta amplitud de probabilidad de absorción está relacionada con un estado de Fock de un fotón ψ del campo de luz cuántica de la siguiente manera:

(1) ϕ → mi ( r → , t ) = ⟨ 0 | mi ^ + ( r → , t ) | ψ ⟩ ϕ → B ( r → , t ) = ⟨ 0 | B ^ + ( r → , t ) | ψ ⟩

dónde ψ es el estado cuántico del campo de luz (imagen de Heisenberg), B ^ + , mi ^ + son las partes de frecuencia positiva de los observables de campo eléctrico y magnético (de valor vectorial) y, por supuesto, ⟨ 0 | es el estado fundamental único del campo de luz cuántica.

Esta relación es invertible, es decir , dado el vector valorado ϕ → mi , ϕ → B , uno puede reconstruir de manera única el estado cuántico del campo de luz de un fotón, por lo que puede pensar en él como una representación particular del estado de un fotón.

Para estados de un fotón, ϕ → mi , ϕ → B cumplir las ecuaciones de Maxwell; a la inversa, cada solución clásica de las ecuaciones de Maxwell también define un estado correspondiente de un fotón a través de la inversión de (1).

La densidad de probabilidad para detectar destructivamente el fotón, cuando el estado está correctamente normalizado, es el análogo de la densidad de energía clásica (la normalización convierte la densidad de energía clásica en una densidad de probabilidad), es decir

pag ( r → , t ) = 1 2 ϵ 0 | ϕ → mi | 2 + 1 2 m 0 | ϕ → B | 2

Vea mi respuesta aquí para obtener más información y referencias.

Gracias por compartir esta maravillosa idea, aunque no estoy seguro de qué tan bien lo entendí. Solo como un mensaje para llevar a casa: supongamos que hago un experimento de doble rendija con una luz y obtengo algo de interferencia y, por lo tanto, algo de lambda 1. Ahora, si de alguna manera hago el experimento con electrones, obtengo la misma interferencia y calculo paralelamente la longitud de onda de See Broglie. lambda 2 de estos electrones. ¿Serán iguales estos lambda 1 y 2 (asumiendo que la propiedad de relatividad de la luz no existe)?
Según mi interpretación de su respuesta anterior, me parece que simplemente no podemos extender el concepto de función de onda tal como lo conocemos en la ecuación de Schrödinger al fotón. Entonces, si la ecuación relevística modificada implicaba una nueva ecuación de onda, entonces podemos decir que estas ondas son iguales (relacionadas) con sus ondas EM.
@ManishKumarSingh Tu último comentario es bastante acertado. El mensaje para llevar a casa es que una solución a las ecuaciones clásicas de Maxwell define de manera única un estado de un fotón. La "densidad de energía" calculada a partir de esta solución es proporcional a la probabilidad de absorber el fotón en un punto dado con un detector ideal. Esta última noción es sutilmente diferente de la noción de "encontrar una partícula" que se usa con la ecuación no relativista de Schrödinger para definir "formas" de orbitales atómicos, por ejemplo. Curiosamente, esta noción de "hallazgo" es errónea en el relativista Dirac...
Ecuación de @ManishKumarSingh también. Pero para la situación experimental descrita, si cambiara fotones por electrones y usara la función de onda del electrón para predecir las densidades de detección del electrón y usara sus funciones para predecir lo mismo para los fotones en los experimentos análogos, los resultados serían los mismos. Debería haberlo dejado más claro. Es por esta razón que algunas personas llaman a lo que has escrito "función de onda de fotones".
@ user929304 Un rayo es en realidad una definición de una onda plana, o al menos una onda localmente plana, es decir, un campo con frentes de onda que pueden considerarse planos en varias longitudes de onda normales al rayo. La perturbación se extiende por el espacio: por lo tanto, aún puede interferir consigo misma si las copias viajan a diferentes distancias. Pero aquí es donde entra la noción de longitud de coherencia : la fuente debe ser lo suficientemente coherente como para que la perturbación retrasada por la distancia X está altamente correlacionado con el retardado por la distancia X + Δ , dónde Δ es la diferencia de camino. Si la luz tiene...
@ user929304 una longitud de coherencia corta, la interferencia no ocurre. De hecho, la luz altamente incoherente se usa para hacer que cosas como la tomografía de coherencia óptica y otros tipos de interferometría de luz blanca funcionen: usted encuentra dónde hay interferencia, y en ese punto sabe que las longitudes de trayectoria deben estar equilibradas.
@WetSavannaAnimalakaRodVance Muchas gracias por la pronta respuesta. Creo que entiendo el núcleo de sus puntos, por lo que me equivoqué principalmente al suponer que son como dos partículas que viajan y se vuelven a unir. Si quisiéramos extender esta imagen clásica de ondas, a la interferencia de un solo fotón en QM, es decir, usamos la misma configuración, pero con un solo fotón: el divisor de haz dividirá las probabilidades en reflexión y transmisión, y decimos que el fotón es en una superposición hasta que se mide. ...
@WetSavannaAnimalakaRodVance ... Pero, ¿por qué, incluso en este caso, la superposición depende de las longitudes de los caminos? Incluso un escenario más simple: coloquemos dos detectores al final de cada ruta después de la BS (sin espejos). Con un solo fotón, después de la BS tenemos una superposición de caminos de transmisión y reflexión, pero ¿cómo podemos explicar que las amplitudes en esta superposición dependan de la longitud del camino? (es decir, si cambio las longitudes, cambio la probabilidad de que el fotón sea detectado en un detector con respecto al otro). Realmente difícil de entender...
@ user929304 La fase de la amplitud de hecho depende de la longitud de la ruta, pero no puedo ver que la probabilidad cambie cuando no hay espejos al final de las rutas. Uno realmente debería estar pensando en el campo cuántico aquí: el estado de un fotón es algo altamente deslocalizado. Es posible que no vuelva a responder esta noche, pero definitivamente estoy interesado en aclarar esto, ya que parece que tiene una buena pregunta aquí, así que tal vez podamos retomar esto en el chat mañana.
@WetSavannaAnimalakaRodVance Claro, no se preocupe, puede ser más fácil discutir esto por correo electrónico si le parece bien, o chatear aquí. Déjame saber, definitivamente espero saber de ti;)
Esto parece útil, y me tomaré un tiempo para ver las referencias que ha proporcionado. Pero el siguiente punto me molesta. La expresión que da para la probabilidad (no normalizada) de detección destructiva es la densidad de energía, que es el componente 00 de la energía de estrés. Pero la densidad de un escalar tiene que ser descrita por el componente 0 de un cuatro vector. ¿No significa esto que tiene las propiedades de transformación incorrectas? ¿O esta expresión debe interpretarse como válida solo en el marco de reposo del detector?

Me refiero a sus preguntas principales,

  • 1) la función ξ que he escrito arriba es la función de onda ψ de la mecánica cuántica con s actuando como X (en ψ )? Si no, ¿cuál es la relación entre ellos?

Si hubieras escrito la función ξ correctamente como en el artículo sobre el experimento de 2 rendijas, sí , la amplitud en la pantalla fue dada por la función ξ .

  • 2) Pero la intensidad también es proporcional al número de fotones. Así que postulamos que la probabilidad de que un fotón golpee un determinado s es proporcional a la intensidad = | amplitud | 2 .

si y no _ Hay dos problemas aquí y hay que distinguirlos. A) La claridad del patrón depende del número de fotones. B) Pero las posiciones de los mínimos y máximos no, son las mismas, no importa cuántos fotones envíes.

Déjame explicarte: si envías solo un fotón a través de la doble rendija, no verás ningún patrón. El QM estándar dice que el patrón existe, pero no puedes verlo porque el fotón se absorbe en un punto de la pantalla, así que no verás el patrón, solo el punto. Pero si envías un fotón más, y otro más, y así sucesivamente, aparecerán más puntos en la pantalla, y verás que aparecen según el patrón que indica tu eq. (5). Cuantos más fotones envíe, obtendrá más de lo mismo , un mismo patrón, más claro.

lo que significa | ψ ( X , t ) | 2 = | tu ( X ) | 2 y volvemos a su pregunta original.
¿Relación entre la ecuación de onda de la luz y la función de onda del fotón?
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