¿Cuál es el procedimiento numérico para encontrar el siguiente acercamiento más cercano entre dos cuerpos en órbitas keplerianas?

Solo respuesta parcial: ¡ espero que también se publique una respuesta más específica!

Veo que has actualizado muy bien tu pregunta. Ciertamente todavía está en el tema aquí, pero creo que también puede abstraerlo un poco y hacer una pregunta relacionada en Math SE o SciComp SE también.

Una pregunta de matemáticas podría verse así:

Dadas dos funciones de periodo$g_1, g_2$de la variable independiente$t$¿Cómo pueden todos los mínimos de alguna función paramétrica $f(g_1, g_2)$encontrarse dentro de un rango$t_1 \le t \le t_2$?

Enfoques analíticos

Si usted sabe$g_1, g_2$y$f$ analíticamente (en este caso$\mathbf{x_1}(t), \ \mathbf{x_2}(t)$y$|\mathbf{x_2} - \mathbf{x_1}|$) entonces puedes simplemente usar la regla de la cadena para diferenciar analíticamente, y luego aplicar todo lo que los campos de las matemáticas y la técnica numérica tienen para ofrecer para buscar ceros.

Pero para las órbitas keplerianas no hay soluciones analíticas simples para$\mathbf{x}(t)$.

Esta respuesta a ¿Cuál es la solución analítica de forma cerrada del problema de dos cuerpos para verificar sus resultados de integración numérica? explica que hay una solución analítica para el problema inverso, encuentre el tiempo para un$\theta$(o los dos tiempos para un dado$r$) dentro de un período, y eso puede o no ser útil.

Series infinitas

Sin embargo, existen soluciones en series infinitas para$\mathbf{x}(t)$y para órbitas levemente excéntricas, podría considerar usar los primeros términos como soluciones analíticas y luego proceder a encontrar cero.

Técnicas avanzadas

• Esto acaba de llegar: El rebaño de cabras de Kepler: una solución exacta a la ecuación de Kepler para órbitas elípticas

Una relación fundamental en la mecánica celeste es la ecuación de Kepler, que vincula la anomalía media de una órbita con su anomalía excéntrica y excentricidad. Al ser trascendental, la ecuación no puede resolverse directamente para la anomalía excéntrica mediante tratamientos convencionales; se ha dedicado mucho trabajo a los métodos aproximados. Aquí damos una solución integral explícita, utilizando métodos recientemente aplicados al "problema de la cabra geométrica" ​​ya la dinámica del colapso esférico. La solución se da como una relación de integrales de contorno; estos se pueden calcular de manera eficiente a través de la integración numérica para excentricidades arbitrarias. Se ha encontrado que el método es altamente preciso en la práctica, con nuestra implementación de C++ superando los enfoques convencionales de búsqueda de raíces y series por un factor mayor a dos.

• Hacia la gestión automatizada de conjunciones satelitales con aprendizaje profundo bayesiano

[...] Por esta razón, el desarrollo de herramientas automatizadas que predicen posibles eventos de colisión (conjunciones) es crítico. Presentamos un enfoque de aprendizaje profundo bayesiano para este problema y desarrollamos arquitecturas de redes neuronales recurrentes (LSTM) que funcionan con series temporales de mensajes de datos de conjunción (CDM), un formato de datos estándar utilizado por la comunidad espacial. Mostramos que nuestro método se puede usar para modelar todas las características de CDM simultáneamente, incluido el tiempo de llegada de futuros CDM, proporcionando predicciones de la evolución de eventos de conjunción con incertidumbres asociadas.

Ver también:

• ¿Cómo podría uno abordar el uso de IA (red neuronal convolucional) para predecir colisiones en órbita?
• ¿Qué hizo la NASA con "la computadora cuántica más grande del mundo"? (re pregunta de 2013)
• https://www.seertracking.com/

YouTube:

• El apocalipsis de los desechos espaciales | ámbar yang | TEDxJacksonville
• Este joven de 19 años puede mantener a los astronautas a salvo de la basura espacial

Patrones de Lissajous y patrones repetitivos/no repetitivos

Cabe destacar que el artículo de Wikipedia sobre ecuaciones paramétricas comienza con una discusión sobre la curva de mariposa y tiene una sección completa sobre las curvas de Lissajous .

@RogerWood señala que es importante decidir si puede tratar la proporción de los dos períodos como un número racional de tamaño razonable (por ejemplo, 42:137) o si no están relacionados de manera simple y son básicamente independientes.

¿Quién hace cosas como esta?

¡El comando espacial y cualquier organización dependiente o propietaria de un satélite lo hacen!

Cuando la distancia mínima entre dos satélites en órbita terrestre se acerca demasiado para su comodidad, lo que significa varias veces la incertidumbre en la órbita de cada satélite, se denomina conjunción .

Con millones de satélites, calcular las posibles conjunciones en el futuro y determinar cuándo es necesario tomar medidas (por ejemplo, generar tweets y tal vez mover algunos satélites) es un gran negocio.

Consulte lo siguiente para obtener más información sobre cómo se hace esto:

• Celestrak: SÓCRATES
• ¿Métodos o técnicas algorítmicas para encontrar conjunciones en grandes conjuntos de vectores de estado?
• ¿Métodos o técnicas algorítmicas para encontrar conjunciones en conjuntos de elementos Keplerianos de alto N?

Pero, ¿y si quiero intentar resolver esto yo mismo?

Defina su problema de una manera práctica.

¿Te importan todos los mínimos, o solo aquellos que están realmente cerca como en la búsqueda de conjunciones?

Si están en lados opuestos del cuerpo central, poco tiempo después no estarán uno al lado del otro.

Creo que algún tipo de enfoque de divide y vencerás puede ser útil. Divida el tiempo en cuadros lo suficientemente pequeños como para que contengan cero o un mínimo, pero no dos. Luego divídalos por la mitad nuevamente. Verifique las derivadas en los bordes, si cambia de signo, entonces tal vez haya un mínimo cerca.

¿Que sigue?

Sigo pensando que una pregunta cuidadosamente escrita en Math SE o SciComp SE será bastante fructífera.

Esta es una respuesta, pero definitivamente no es una buena respuesta. Si,$d$, es la separación entre los dos satélites, entonces podemos usar el método de Newton en las derivadas del tiempo$d'$y$d''$para encontrar iterativamente el mínimo.

Dados los 12 elementos orbitales, primero encontramos la separación,$d$y la velocidad relativa y la aceleración entre los dos satélites. Entonces resolvemos las componentes paralelas a la dirección de$d$y ortogonal a _$d$utilizando la notación ($v_p,v_o$) y ($a_p,a_o$).

Para la primera derivada de$d$, simplemente tenemos$d'=v_p$. la segunda derivada$d''$obviamente incluye el componente de aceleración a lo largo$d$, pero también es una función de la componente de velocidad ortogonal que actúa como una aceleración al hacer que la separación aumente cuadráticamente. La expresión para la segunda derivada es por lo tanto$d''=a_p+(1/2)v_o^2/d$. Si nos estamos acercando a un mínimo,$v_p$debe ser negativo y$a_p+(1/2)v_o^2/d$debe ser positivo. Sin embargo,$a_p$siempre es negativa ya que ambos satélites están acelerando continuamente hacia la masa central. Entonces la velocidad relativa debe ser al menos$v>\sqrt(2a_pd)$en el punto de máxima aproximación.

Cerca de un mínimo de separación,$d$es probablemente una función razonablemente cuadrática del tiempo y el método de Newton funcionará muy bien. ¡En otras posiciones, se desatará el infierno! Desafortunadamente, nada de esto evita la necesidad de un buen método para propagar las órbitas en el tiempo (según los comentarios de @uhoh).

Esta no es una respuesta real, pero puede resultarle de interés. ;)

Como ha mencionado uhoh, la dificultad central para una solución analítica de este problema es que no hay forma de invertir la ecuación de Kepler usando funciones elementales. la ecuacion es

dónde$M$es la anomalía media ,$E$es la anomalía excéntrica , y$e$es la excentricidad.

Es bastante fácil resolverlo usando algunas rondas del método de Newton (a menos que$e$está muy cerca de 1), pero eso no es muy útil en un enfoque analítico, y su problema debe resolverse dos veces, una para cada cuerpo. El enfoque analítico tradicional es aproximarlo utilizando algunos términos de una serie; varias opciones se dan en el artículo de Wikipedia.

La alternativa es simplemente buscar soluciones numéricamente. Si conoce la hora de la última aproximación máxima, puede hacer una estimación inicial razonable de la hora de la siguiente simplemente sumando el período sinódico relativo de los dos cuerpos.

Dejar$T_1 < T_2$ser los períodos de los cuerpos. Entonces el período sinódico es

Si ambas órbitas son circulares, esto da la solución exacta. Para órbitas excéntricas, te da el tiempo medio entre aproximaciones más cercanas.

Tenga en cuenta que la velocidad relativa de los dos cuerpos es cero en el acercamiento más cercano (y más lejano), por lo que la distancia relativa no cambia mucho en ese momento.

Supongo que desea una solución general para este problema. OTOH, si desea resolverlo para los cuerpos reales del Sistema Solar, puede hacer que JPL Horizons haga los cálculos de la órbita. Puede darte fácilmente la distancia (y su tasa de cambio) entre cualquier par de objetos en su sistema, y ​​conoce muchos objetos : 1130203 asteroides, 3757 cometas, 209 satélites planetarios, 8 planetas, el Sol, L1, L2 , nave espacial seleccionada y baricentros del sistema. 

Aquí hay un gráfico de la distancia entre Marte y Mercurio durante el período 2000-Feb-04 a 2003-Dic-30. Los elegí porque son los planetas con las órbitas más excéntricas. La excentricidad de Mercurio es 0,20563, la de Marte es 0,0934. Sus períodos son 87,9691 días y 686,98 días, respectivamente, por lo que su período sinódico relativo es ~100,888 días, que es ~1,1469 períodos de Mercurio y ~0,1469 períodos de Marte. Tuvieron un acercamiento cercano dentro de un día de la hora de inicio del gráfico. El intervalo entre las líneas de fecha verticales es de 100 días.

Como puede ver, el período entre acercamientos sucesivos es bastante cercano a los 100 días, aunque hay un poco de desviación.

Aquí hay un enlace a una versión en vivo del programa Sage/Python que usé para crear ese gráfico. Puede trazar en formatos SVG y PNG. Puede usarlo en cualquier objeto que Horizons conozca. Se puede usar para buscar "manualmente" soluciones a su problema, y ​​quizás sea útil para validar otros métodos de solución.

Consulte la documentación de Horizons para obtener detalles completos sobre la especificación de ID de cuerpos, tiempos y pasos de tiempo. Brevemente, un número del 1 al 9 identifica el baricentro de un planeta (incluido Plutón), por ejemplo, 1 es Mercurio, 4 es Marte. Añadir 99para especificar el centro del cuerpo. Debe anteponer el centro de observación con @, de lo contrario, el número se trata como la ID de un observatorio. Si escribe una cadena en los campos targeto center, Horizons responderá con una lista de ID que coincidan con esa cadena.

Horizons acepta numerosos formatos de fecha y hora. Para ingresar un número de día juliano, prefijelo con jd.

El datestepparámetro de mi programa establece el espaciado de las líneas de cuadrícula verticales en el gráfico. Un valor datestepde 10 significa que esas líneas se dibujan por cada 10 puntos de datos.

Para reducir la cantidad de solicitudes de Horizons, el programa almacena en caché los últimos 3 conjuntos de datos que obtiene. Si realiza cambios "cosméticos" en el gráfico sin alterar los parámetros de destino, centro o tiempo, se reutilizan los datos antiguos.

Intentaría un enfoque numérico utilizando enfoques de ingeniería básicos. Primero configure 2 órbitas keplerianas arbitrarias utilizando datos r y v o datos elementales. Si las órbitas de los objetos reales son de interés, utilice datos precisos del sistema solar.

En segundo lugar, elija posiciones iniciales arbitrarias para cada objeto.

Tercero, configure el cálculo de la distancia entre los dos objetos en coordenadas cilíndricas (o esféricas) o por transformación a coordenadas cartesianas.

Cuarto, configure el procedimiento para propagar los objetos en órbita durante un período de tiempo corto (probablemente unos minutos), luego vuelva a calcular la distancia entre ellos.

Quinto. ejecute (propague) el sistema durante algunas horas de computadora (probablemente decenas de miles de órbitas), desarrollando un registro del tiempo y la distancia entre los objetos y otros parámetros que podrían ser de interés para analizar los resultados.

Seis. Muestre el parámetro de distancia frente al tiempo y examine los puntos mínimos y el tiempo entre mínimos y otros parámetros de interés. Si no hay datos suficientes, ejecute durante unas horas más.

Trabajar en una solución de forma cerrada para esto no parece valer la pena.