¿Cómo puedo predecir cuáles serán los vectores de estado orbital de un objeto en el futuro?

Hay dos maneras. Una es integrar numéricamente desde el tiempo actual al tiempo futuro. Eso es conceptualmente el más fácil, así como el más simple de implementar (dada una buena rutina de integración). Por otro lado, es el más intensivo en computación, el más propenso a errores numéricos acumulados dependiendo de qué tan lejos tenga que ir, y no proporciona información sobre la órbita.

Para situaciones que no son su problema de dos cuerpos, esa es realmente la única opción.

El segundo es derivar los seis elementos orbitales de los seis componentes de posición y velocidad (asumiendo alguna convención para$t=0$). Eso te dice mucho sobre el futuro del objeto, como el tamaño, la forma y la orientación de la órbita y el período de la órbita. A partir de los elementos, puede calcular la posición y la velocidad en cualquier momento futuro con algunas fórmulas simples, sin tener que integrar los tiempos intermedios. De nuevo, asumiendo tu problema de dos cuerpos.

Para responder a la pregunta de los comentarios, la posición y la velocidad se pueden calcular utilizando los elementos orbitales. En el plano de la órbita, donde$\mu$es el$GM$,$a$es el semieje mayor,$e$es la excentricidad y$\tau$es la anomalía excéntrica (más sobre eso en un momento):

$x=a\left(\cos\tau-e\right)$

$y=a\sqrt{1-e^2}\sin\tau$

$z=0$

$v_x=-\sqrt{\mu\over a}{\sin\tau\over 1-e\cos\tau}$

$v_y=\sqrt{\mu\over a}{\sqrt{1-e^2}\cos\tau\over 1-e\cos\tau}$

$v_z=0$

Luego puede rotar esas coordenadas al plano real de la órbita aplicando una rotación de Euler con los ángulos$\Omega$,$i$, y$\omega$, donde son la longitud del nodo ascendente, la inclinación y el argumento del periapsis respectivamente.

La anomalía excéntrica va de$0$a$2\pi$sobre una órbita, y es un sustituto conveniente para el tiempo. Está relacionado con el tiempo por:

$t=\sqrt{a^3\over\mu}\left(\tau-e\sin\tau\right)$

No hay una solución de forma cerrada para obtener$\tau$de$t$, entonces necesitas resolver eso numéricamente. O si está, por ejemplo, trazando, puede calcular las coordenadas y$t$todo de$\tau$y trazar paramétricamente.

Todo esto asume la convención de que$t=0$y$\tau=0$está en periapsis. Tendrás que compensar$t$por tu solución, ya que espero que quieras$t=0$estar en su condición inicial, que probablemente no esté en el periapsis. Ahí es donde entra en juego el sexto elemento orbital de la anomalía.

Esto le dará la respuesta en un sistema de coordenadas falso para el problema de los dos cuerpos que está bastante cerca del sistema de coordenadas real si el cuerpo en órbita es mucho, mucho más pesado que el objeto en órbita. Sin embargo, si ese no es el caso, entonces necesita volver a convertir las coordenadas a la situación real para ambos cuerpos, ya que ambos están orbitando su centro de masa combinado. Un ejemplo de ese caso es la Luna que orbita alrededor de la Tierra.

@Stu, agregaré información desde la perspectiva de las ecuaciones de movimiento. Estos comentarios están más orientados hacia el problema de los satélites artificiales que orbitan la Tierra: los cuerpos adicionales y las perturbaciones arrojan mucho de esto por la ventana, pero quedan algunos fundamentos. Disculpas de antemano si ya sabes esto.

Hacemos algunas suposiciones sobre las masas relativas de los dos cuerpos involucrados y suponemos que el cuerpo central tiene una masa mucho mayor. También suponemos un marco de referencia inercial y que los cuerpos son masas puntuales. Usando estos podemos desarrollar la ecuación de movimiento 2BP donde$r$es el vector de posición desde el centro de masa del cuerpo central hasta el segundo cuerpo

$$\ddot{\vec{r}}=-\frac{\mu}{r^2} \frac{\vec{r}}{r}$$

Ahora bien, el hecho de que tengamos un$r^3$en el denominador no debería preocuparte - Esta es la ley de la gravedad del cuadrado inverso, y el adicional$r$escamas$\vec{r}$para producir un vector unitario. Esto parece un poco desagradable de resolver en forma cerrada, ya que tenemos una ecuación diferencial ordinaria no lineal (que también está acoplada debido a la$r$término). Hay 3 ODE de segundo orden, que se pueden expresar como 6 ODE de primer orden. Si tiene acceso a un integrador numérico, todo lo que necesita ahora son las condiciones iniciales en sus vectores de posición y velocidad (los 6 estados), establezca el tiempo deseado y listo. Puede propagar este problema hacia atrás en el tiempo tan fácilmente como hacia adelante.

Con respecto al elemento orbital y las conversiones de velocidad de posición, el problema de dos cuerpos no perturbados tiene esencialmente un grado de libertad, que es su elección de anomalía en el plano. Con una anomalía especificada, puede calcular cualquiera de las otras dos. Dada la anomalía media$M$, puede iterar para encontrar la anomalía excéntrica$E$, y a partir de ahí determinar la verdadera anomalía.$\nu$(con cuidado de evitar la ambigüedad de los cuadrantes con la función arcotangente).

$$M=E-e\sin{E}$$

$$\tan{\frac{\nu}{2}} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}$$

La propagación de las anomalías permite visualizar más fácilmente la órbita, en lugar de observar los vectores de posición/velocidad. Existen numerosas rutinas de código abierto para convertir fácilmente (normalmente denominadas rv2oe o rv2coe) entre posición/velocidad y elementos orbitales. Este es un buen sitio web para la colección de software de Vallado .