Suma la distancia total de los electrones en una superficie esférica

Este problema, conocido como el problema de Thomson de encontrar la configuración de energía más baja de cargas puntuales en una esfera conductora, se originó con el modelo de pudín de ciruelas del núcleo atómico de Thomson. No existe una fórmula conocida, pero sí muchos códigos informáticos que intentan resolverlo.

http://en.wikipedia.org/wiki/Thomson_problema

JR MORRIS, DM DEAVEN Y KM HO, Minimización de energía del algoritmo genético para cargas puntuales en una esfera, Phys. Rev. B, 53 (1996), págs. R1740-R1743.

EB SAFF Y A. KUIJLAARS, Distribuir muchos puntos en la esfera, Matemáticas. Intelligencer, 19 (1997), págs. 5-11.

Para empezar, tendré que suponer que te refieres a cargas de electrones excedentes en una esfera. Obviamente, la integral del inverso de las distancias entre cargas sería comparativamente fácil de relacionar con cantidades físicas ya que básicamente es potencial. Así que hablemos de esta esfera, radio$R$, con cargo$Q$en él, formado por$Q/e$electrones La autocapacitancia de una esfera conductora es$4 \pi \epsilon_0 R = R/k$. Entonces podemos establecer que la energía potencial total es$\frac{1}{2}C V^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$.

$$E=\frac{Q^2}{2 C} = k e^2 \frac{N^2 }{2 R} = k e^2 \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^{i-1} \frac{1}{|r_i-r_j|}$$

Para la suma de distancias (no a la inversa), puedes obtener una fórmula como esta.

$$\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^{i-1} |r_i-r_j| = \frac{2}{3} N^2 R$$

Esto cae del cálculo de la suma, al igual que el valor de la capacitancia. No hice eso, sino que simplemente escribí un código que descubrió la relación a mi entera satisfacción.

program sphere
  implicit none

  double precision :: mu, theta
  double precision :: mu2, theta2
  double precision, dimension(3) :: r1, r2, rand
  integer :: i, j, N
  double precision :: thesum,thesum2, ind
  double precision, parameter :: pi = 3.14159265
  double precision :: d, rad

  N = 5000
  rad = 2.

  ind = 0
  thesum = 0.
  thesum2 = 0.
  do i = 1,N
    r1 = random_points(rad)
    do j = 1,i-1
      ind = ind+1
      r2 = random_points(rad)
      d = sqrt(sum((r1-r2)**2))
      thesum = thesum + 1./d
      thesum2 = thesum2 + d
    end do
  end do

  write(*,*) ' N= ',N,'  number= ',ind
  write(*,*) ' pot/N^2 ',thesum/N**2
  write(*,*) ' len/N^2 ',thesum2/N**2

  contains

    function random_points(r)
      implicit none
      double precision, dimension(3) :: random_points
      double precision, intent(in) ::  r
      double precision :: theta, mu
      double precision, dimension(3) :: rand
      call random_number(rand(1))
      call random_number(rand(2))
      theta = 2.*pi*rand(1)
      mu = rand(2)*2.-1.
      random_points(1) = cos(theta)*sqrt(1.-mu**2)*rad
      random_points(2) = sin(theta)*sqrt(1.-mu**2)*rad
      random_points(3) = mu*rad
    end function random_points


end program sphere

No sé si este valor tiene alguna utilidad física. Para empezar, podemos ponerlo en términos de valores físicos más familiares.

$$\frac{2 N^2 R}{3} = \frac{2 Q^2 R}{3 e^2}$$

El problema de hacer una integral de distancia es que no puedo pensar en ninguna cosa física para la que esto importe. campo y potencial son$1/r^2$y$1/r$y si integras de nuevo, obtienes$ln(r)$. Supongo que algunas fuerzas crecen con la distancia, y tal vez sean proporcionales a la distancia.

Estoy seguro de que la relación entre esos dos valores requiere una ecuación relativamente simple.

Siempre que la geometría sea lo suficientemente simple, esto será cierto para muchas preguntas similares. Eso está en el dominio de las matemáticas.

EDITAR:

Creo que el problema de revisión es restringir:

$$i=1 .. N$$

$$|\vec{r}_i| < R$$

Luego demuestre que 1 siendo verdadero implica 2 a continuación

1. la suma de$1/r$integral de todas las cargas sobre todo el volumen es constante
2. la distancia total entre todos los puntos es máxima

Creo que esto podría ser lo que se está preguntando. Es un poco elevado, pero estoy seguro de que es completamente factible. Mi sospecha es que se aplicaría a cualquier región arbitraria.

EL CÁLCULO:

Presentaré la forma de obtener estos números mediante la integración, en parte porque creo que sería útil para un estudiante de primer año que ingresa. El problema que resuelve mi código anterior es integrar los valores de$1/r$y$r$sobre todos los pares de puntos sobre una esfera. Cuando haga la integral real, la multiplicaré por 1/2 porque, de lo contrario, la integral contaría dos veces los pares. La integración es básicamente una forma de usar las matemáticas para describir un problema con puntos infinitos.

Comencemos. El área superficial de la esfera es:

$$SA = 4 \pi R^2$$

La densidad de carga es el número dividido por el área superficial. Este es el número de cargas por unidad de área en la superficie de la esfera.

$$\sigma = \frac{N}{SA}$$

Puede integrar sobre cualquier variable que desee, elegiré el ángulo entre el eje x y el vector. Voy a denotar esto con un número primo para indicar que es el "segundo" punto del par, y el "primer" punto del par simplemente se fijará.

$$\vec{r}' = <x',y',z'> = < R \cos{\theta}, 0, R \sin{\theta} >$$

$$\vec{r} = < 1, 0, 0 >$$

Defina la distancia entre ellos. Este es un escalar.

$$d = | \vec{r} - \vec{r}' |$$

Voy a hacer una integral de superficie para cubrir todos los$\vec{r}'$y luego hacer otra integral de superficie (por 1/2) sobre todos los$\vec{r}$. Esa es la esencia de esto, pero hay muchas simetrías involucradas. Estas simetrías reducen la dimensionalidad de la$\vec{r}'$integral por 1 y el$\vec{r}$integral por 2. Eso significa que este último ni siquiera es una integral. La proposición detrás de esto es que

1. Puedes rotar el$\vec{r}'$punto alrededor del eje x y no cambia la distancia
2. Puedes mover el$\vec{r}$punto alrededor de la esfera y no cambia la distancia

Ahora estoy en un punto donde puedo escribir la integral. Primero para la energía electrostática total. Tenga en cuenta que$e \sigma$es la densidad de carga desde que usé$\sigma$como la densidad numérica. La primera expresión del área de superficie de tiempo de densidad de carga es el multiplicador que uso en lugar de una integral externa. El$2 \pi y'$se necesita para usar correctamente la simetría del eje x, equivale a multiplicar por el perímetro de una arandela centrada en el eje x.

$$N = (e \sigma SA) \frac{1}{2} \int_0^{\pi} 2 \pi y' \frac{k e \sigma}{d} d \theta = k e^2 \frac{ N^2}{2}$$

Este es el resultado que quería. La misma manera se usa casi idénticamente para reproducir el número de la suma de distancias entre puntos. Omitiré los cargos porque no hay una interpretación física clara.

$$sum = ( \sigma SA) \frac{1}{2} \int_0^{\pi} 2 \pi y' \sigma d d \theta = \frac{2 N^2}{3}$$

Y esa es la integral. El uso de un paquete de álgebra computacional es útil, pero todo debería estar suficientemente definido aquí.