Razón del principio de incertidumbre

El principio de incertidumbre es una simple consecuencia de la idea de que los operadores mecánicos cuánticos no conmutan necesariamente .

En la mecánica cuántica, encuentra que el estado que describe un estado de valor definido de un observable$A$no es el estado que describe un estado de valor definido para un observable$B$si el conmutador de ambos observables$[A,B]$no es cero (Formalmente, los dos operadores no son simultáneamente diagonalizables).

Simplemente escribe la definición de la desviación estándar del operador$A$en un estado$\psi$,

$$\sigma_A(\psi) = \sqrt{\langle A^2\rangle_\psi - \langle A\rangle^2_\psi}$$ dónde $\langle\dot{}\rangle_\psi$es el valor esperado en el estado $\psi$y con un poco de manipulación algebraica (hecha, por ejemplo , en Wikipedia ) encontramos que $$\sigma_A(\psi)\sigma_B(\psi)\ge \frac{1}{2}\lvert \langle[A,B]\rangle_\psi\lvert$$

Ahora, la desviación estándar (o "incertidumbre") de un observable en un estado le dice cuánto "fluctúa" el estado entre diferentes valores del observable. La desviación estándar es, por ejemplo, cero para los estados propios del observable, ya que siempre se mide el valor propio que tiene ese estado.

Introduciendo la relación de conmutación canónica

$$[x,p] = \mathrm{i}\hbar$$ produce la versión "famosa" de la relación de incertidumbre, a saber $$\sigma_x\sigma_p\ge \frac{\hbar}{2}$$ pero no hay nada especial acerca de la posición y el momento a este respecto; todos los demás pares de operadores cumplen igualmente dicha relación de incertidumbre.

En mi opinión, es crucial señalar que el principio de incertidumbre no se basa en ninguna concepción de "partículas" u "ondas". En particular, también es válido en sistemas cuánticos de dimensión finita (como una partícula con espín que de alguna manera está confinado a un punto) para observables como el espín o el momento angular que no tienen nada que ver con nada que se pueda llamar "naturaleza ondulatoria". El principio es solo una consecuencia de la suposición básica de la mecánica cuántica de que los observables están bien modelados por operadores en un espacio de Hilbert.

La razón por la que entran las "ondas" es que la relación de incertidumbre para$x$y$p$es precisamente la de los "anchos" de funciones en variables conjugadas de Fourier, y la relación de Fourier con la que estamos más familiarizados es la que existe entre la posición y el espacio de momento. Que las relaciones canónicas de conmutación sean equivalentes a tal descripción por variables conjugadas de Fourier es el contenido del teorema de Stone-von Neumann .

Sin embargo, es la descripción por relaciones de conmutación y no la conjugación de Fourier la que se generaliza a todos los estados cuánticos ya todos los operadores. Por lo tanto, es la relación de conmutación entre los operadores la que debe verse como el origen de sus relaciones de incertidumbre mecánica cuántica.

Esto iba a ser un comentario y luego decidí hacer una respuesta de un experimentador. Demasiados físicos basados ​​en la teoría están respondiendo aquí y, en mi opinión, le dan una posición equivocada a lo que son las teorías de la física.

Las teorías de la física no son matemáticas. Para las matemáticas los axiomas son fundamentales, porque a partir de los axiomas uno puede construir la teoría de manera consistente (el ejemplo básico y antiguo es la geometría plana), utilizando herramientas lógicas y matemáticas. Las teorías de la física se desarrollan para describir observaciones y predecir otras nuevas. La belleza y la consistencia de las matemáticas no deben engañarnos para que pensemos que las matemáticas con sus axiomas y demostraciones son fundamentales. Las matemáticas son necesarias pero son irrelevantes para la física si no hay postulados que vinculen la observación física con las soluciones matemáticas. Los postulados de la mecánica cuántica son fundamentales para la teoría de la mecánica cuántica,

Los postulados 1,2 en el enlace de arriba son los relevantes para el principio de incertidumbre de Heisenberg.

1) Asociada con cualquier partícula que se mueve en un campo de fuerza conservativo hay una función de onda que determina todo lo que se puede saber sobre el sistema.

2) Con cada observable físico q hay asociado un operador Q, que al operar sobre la función de onda asociada con un valor definido de ese observable producirá ese valor multiplicado por la función de onda.

Esto es lo que hace que la correspondencia entre la herramienta matemática de las ecuaciones diferenciales de onda y sus propiedades sea relevante para la física. Por lo tanto, la respuesta con la explicación de las ondas es relevante porque las matemáticas de las ondas son las mismas ya sea que se usen para distribuciones de probabilidad o para ondas de agua.

La correspondencia de los observables con los operadores, también impuesta fuera de los axiomas matemáticos, conduce a las relaciones de conmutación que son responsables del principio de incertidumbre de Heisenberg .

Al estudiar los artículos de Dirac y Jordan, mientras mantenía correspondencia frecuente con Wolfgang Pauli, Heisenberg descubrió un problema en la forma en que se podían medir las variables físicas básicas que aparecían en las ecuaciones. Su análisis mostró que siempre surgían incertidumbres o imprecisiones si se intentaba medir la posición y el momento de una partícula al mismo tiempo. (Ocurrieron incertidumbres similares al medir la energía y las variables de tiempo de la partícula simultáneamente). Estas incertidumbres o imprecisiones en las mediciones no eran culpa del experimentador, dijo Heisenberg, eran inherentes a la mecánica cuántica.

Leyendo la historia, uno ve que las incertidumbres en los experimentos finalmente condujeron al principio, cuya adopción en la física es consistente con el marco matemático elegido para modelar la naturaleza mecánica cuántica de las observaciones.

Entonces, en mi opinión, el por qué sucede está directamente relacionado con la naturaleza ondulatoria del marco mecánico cuántico, onda de probabilidad, por supuesto. Y la elección de las ecuaciones de onda fue impuesta por las observaciones.

La respuesta estándar se da ACuriousMind, a saber, que es la consecuencia de la estructura matemática de QM. Una respuesta alternativa (aproximación a QM) comienza con las relaciones del conmutador y deriva la estructura matemática de QM. El Principio de Incertidumbre (HUP) es entonces una versión de la Desigualdad de Robertson.

¿Por qué empezar con las relaciones del conmutador? Principio de Mach: Todas las medidas son relativas. Supongamos que un dispositivo de medición para la cantidad Q produce un flujo de mediciones$X=x_1,X= x_2$... Un segundo dispositivo de medición$Y = f(X)$produciría un segundo flujo de medición$Y=y_1,Y= y_2$..., con decir$f(x) = x + \epsilon.sin(t)$. Mirando solo los flujos de medición, ¿cuál mide "correctamente" Q?

Hablando simplemente no es posible saberlo. Habría que mirar la "construcción" del dispositivo de medición, etc., que no es realmente satisfactoria por varias razones. El equivalente cuántico de la afirmación de Mach "Si solo hay una partícula en el Universo, no tiene sentido hablar de sus propiedades físicas" sería "Si solo hay un único dispositivo de medición de medición en el Universo, no tiene sentido hablar de la medida producida".

El requisito de repetibilidad significa que la única oportunidad de caracterizar los flujos de medición es cuando la medición realizada por un dispositivo es seguida por la medición utilizando un dispositivo de medición diferente. Eso lleva a las relaciones del conmutador y, en última instancia, a la estructura matemática QM estándar.

Entonces, ¿cuál es la forma correcta de hablar sobre el HUP? No puedes equivocarte con la explicación dada por ACuriousMind, pero depende de un conjunto particular de postulados y otras posibles razones por las que existen.