Esta es una pregunta que los estudiantes me han hecho varias veces y tiendo a tener dificultades para expresarla en términos que puedan entender. Esta es una pregunta natural para hacer y generalmente no está bien cubierta en los libros de texto, por lo que me gustaría conocer varias perspectivas y explicaciones que puedo usar cuando enseño.
La pregunta surge naturalmente en lo que suele ser el segundo curso de los estudiantes en física cuántica/mecánica cuántica. En esa etapa, uno se siente bastante cómodo con el concepto de funciones de onda y con la ecuación de Schrödinger, y ha tenido una exposición limitada a los operadores. Un caso común, por ejemplo, es explicar que algunos operadores conmutan y que esto significa que los observables correspondientes son 'compatibles' y que existe una base propia mutua; la relación de conmutación se suele expresar como pero no se dice más acerca de ese objeto.
Esto naturalmente deja a los estudiantes preguntándose
cuál es, exactamente, el significado físico del objeto ¿sí mismo?
y esta no es una pregunta fácil. Me gustaría que las respuestas aborden esto directamente, idealmente en una variedad de niveles de abstracción y antecedentes requeridos. Tenga en cuenta también que estoy mucho más interesado en el objeto en sí mismo que cuáles son las consecuencias y las interpretaciones cuando es cero, ya que son mucho más fáciles y se exploran con mucha más profundidad en la mayoría de los recursos.
Una de las razones por las que esta es una pregunta difícil (y que los conmutadores son objetos tan confusos para los estudiantes) es que sirven para una variedad de propósitos, con solo hilos de conexión delgados entre ellos (al menos visto desde la perspectiva de abajo hacia arriba).
Las relaciones de conmutación generalmente se expresan en la forma aunque, a priori , parece haber poca motivación para la introducción de tal terminología.
Se coloca mucho stock detrás de la relación de conmutación canónica. , aunque no siempre está claro lo que significa.
(Desde mi punto de vista, el principio fundamental que esto codifica es esencialmente la relación de De Broglie ; esto se hace riguroso por el teorema de unicidad de Stone-von Neumann, pero eso es bastante para esperar que un estudiante lo entienda a la primera).
A partir de esto hay una extensión natural al Principio de Incertidumbre de Heisenberg, que en su forma general incluye un conmutador (y un anticonmutador, para empeorar las cosas). A menudo se introducen pares de observables conjugados canónicamente, y esto a menudo se ve ayudado por observaciones en conmutadores. (Por otro lado, las relaciones de conjugación energía-tiempo y ángulo-momento angular no pueden expresarse en términos de conmutadores, lo que hace que las cosas sean aún más confusas).
Los conmutadores se utilizan con mucha frecuencia, por ejemplo, al estudiar el álgebra de momento angular de la mecánica cuántica. Está claro que juegan un papel importante en la codificación de simetrías en la mecánica cuántica, pero apenas queda claro cómo y por qué, y en particular por qué la combinación debe ser importante por consideraciones de simetría.
Esto se vuelve aún más importante en tratamientos más rigurosos de la mecánica cuántica, donde los detalles del espacio de Hilbert se vuelven menos importantes y el álgebra de operadores observables ocupa un lugar central. El conmutador es la operación central de esa álgebra, pero nuevamente no está muy claro por qué esa combinación debería ser especial.
Ocasionalmente se hace una analogía con los paréntesis de Poisson de la mecánica hamiltoniana, pero esto apenas ayuda: los paréntesis de Poisson son igualmente misteriosos. Esto también relaciona el conmutador con la evolución del tiempo, tanto en el lado clásico como a través de la ecuación de movimiento de Heisenberg.
No puedo pensar en más en este momento, pero son una gran cantidad de direcciones opuestas que pueden hacer que todo sea muy confuso, y rara vez hay un hilo conductor. Entonces: ¿qué son exactamente los conmutadores y por qué son tan importantes?
Los operadores autoadjuntos ingresan a QM, descritos en espacios complejos de Hilbert, a través de dos formas lógicamente distintas. Esto conduce a un par correspondiente de significados del conmutador.
La primera forma es común con las otras dos posibles formulaciones del espacio de Hilbert (la real y la cuaterniónica): Los operadores autoadjuntos describen observables .
Dos observables pueden ser compatibles o incompatibles , en el sentido de que pueden o no medirse simultáneamente (las medidas correspondientes se perturban entre sí al observar los resultados). Hasta algunos tecnicismos matemáticos, el conmutador es una medida de incompatibilidad , en vista de las generalizaciones del principio de Heisenberg que menciona en su pregunta. En términos generales, cuanto más diferente es el conmutador , más los observables son mutuamente incompatibles. (Piense en desigualdades como . Impide la existencia de un vector propio común de y - los observables se definen simultáneamente - ya que tal vector propio verificaría .)
La otra forma en que los operadores autoadjuntos ingresan al formalismo de QM (aquí las versiones real y cuaterniónica difieren del caso complejo) se refiere a la descripción matemática de simetrías continuas. De hecho, parecen ser generadores de grupos unitarios que representan transformaciones físicas (fuertemente continuas) del sistema físico. Tal transformación continua está representada por un grupo unitario de un parámetro . En efecto, un célebre teorema de Stone establece que para un único operador autoadjunto y todos los reales . Este enfoque para describir transformaciones continuas conduce a la versión cuántica del teorema de Noether solo en vista del hecho (¡claro!) de que también es un observable .
La acción de un grupo de simetría. en un observable se hace explícito por la conocida fórmula en la imagen de Heisenberg:
Por ejemplo, si describe las rotaciones del ángulo alrededor de eje, es el análogo del observable medido con instrumentos físicos rotados de alrededor .
El conmutador aquí es una evaluación de primer orden de la acción de la transformación en el observable , ya que (nuevamente hasta las sutilezas matemáticas, especialmente con respecto a los dominios):
Por lo general, la información contenida en las relaciones de conmutación es muy profunda. Al tratarse de grupos de simetrías de Lie , permite reconstruir toda la representación (hay una maravillosa teoría de Nelson sobre este tema fundamental) bajo unas hipótesis matemáticas bastante suaves. Por lo tanto, los conmutadores juegan un papel crucial en el análisis de simetrías.
Me gustaría ampliar un poco la interpretación de los conmutadores como una medida de perturbación (relacionada con la incompatibilidad, como se mencionó en las otras respuestas). Mi interpretación del conmutador es que cuantifica el grado en que la acción de cambia el valor de la variable dinámica , y viceversa.
Supongamos que es un operador autoadjunto con un espectro discreto no degenerado de valores propios con automercados asociados . Entonces puedes mostrar que, para cualquier operador , existe la siguiente descomposición
En general, el conmutador completo es
Ahora la parte no tan obvia: ¿qué significa "cambiar aplicando "¿significa físicamente? Como señaló Valter, la evolución y las transformaciones en QM se llevan a cabo formalmente aplicando operadores unitarios generados por observables, no aplicando los observables mismos. Esto se relaciona con la descomposición anterior de la siguiente manera. Supongamos que tomamos ser el hamiltoniano . Entonces es sencillo demostrar que la evolución de en la imagen de Heisenberg está dada por
Esta no es una respuesta completa a la pregunta bastante optimista de "¿qué significan físicamente los conmutadores?". Sin embargo, podría proporcionar algo de reflexión para el estudiante curioso.
Esto se sigue desde el son ortogonales con respecto al producto interior de Hilbert-Schmidt:
En un nivel básico:
1) si , y si y son generadores infinitesimales de una simetría (así también cantidades conservadas), esto significa que ambos es invariante por , y es invariante por .
Por ejemplo, , significa que el momento angular se conserva durante la evolución del tiempo, y que el hamiltoniano es invariante por rotación.
Como dice @Valter Moretti, un conmutador no nulo mide la desviación de (ambas) simetrías.
2) Conmutadores de tipo , si está asociado a un espectro discreto, significa que es un operador de subida/bajada, con un " -cobrar" .
Un ejemplo obvio es
3) Relaciones de conmutación de tipo , si y son observables, correspondientes a cantidades clásicas y , podría interpretarse considerando las cantidades o . Estas cantidades clásicas no se pueden traducir en observables cuánticos, porque la incertidumbre sobre estas cantidades siempre está alrededor .
Por ejemplo, muestra que no hay ningún cuanto observable correspondiente a la acción .
Si bien esta explicación no es muy "física" y no es probable que sea útil para un estudiante principiante de QM, creo que toda la física importante contenida en el conmutador en última instancia surge de la fórmula de Zassenhaus.
Comencemos con la ecuación de Schrödinger:
A continuación, considere un observable , y veamos la dependencia temporal de su valor esperado .
Usando la linealidad y la invariancia cíclica de la traza, obtenemos
Ahora echemos un vistazo más de cerca al hamiltoniano. En mecánica clásica, para problemas no relativistas podemos escribir el hamiltoniano como
Sobre la conexión con las simetrías y las relaciones de incertidumbre, ya obtuviste respuestas (y ya es bastante tarde en la noche), así que me detendré aquí.
Puede ser útil asignar a los estudiantes el siguiente problema HW:
Suponer y ser dos observables
i) ¿Cuál es la condición necesaria para que y se puede medir simultáneamente en un experimento sin ninguna incertidumbre?
ii) Escribe todos los polinomios de segundo grado en y que son de nuevo observables.
iii) Supongamos que A es el hamiltoniano**. El tiempo evoluciona un estado por un tiempo por debajo , y denote el estado así obtenido como . ¿Podemos expresar como para algunos observables ? Si es así, encuentra .
** En este problema también podemos tomar ser algún otro generador de simetría que no sea hamiltoniano.
Añadido más tarde:
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