Principio de incertidumbre y medición

Hay muchos pasos:

Paso 1, seleccione un estado$\Psi$.

Paso 2, preparar muchos sistemas en el mismo estado$\Psi$

Paso 3, seleccione dos operadores A y B

Paso 4a, para algunos de los sistemas preparados en estado$\Psi$, medida A

Paso 4b, para algunos de los sistemas preparados en estado$\Psi$, medida B

Ahora, si analiza los resultados, asumiendo mediciones fuertes (no débiles), entonces cada vez que mide A, obtiene un valor propio de A, y cada vez que mide B obtiene un valor propio de B. Cada valor propio tenía una probabilidad (que es igual al cociente de la norma al cuadrado de la proyección en el espacio propio dividida por la norma al cuadrado antes de que se proyectara en el espacio propio). Entonces, sus valores propios de A provienen de una distribución de probabilidad que a menudo tiene una media$\langle A\rangle=\langle \Psi|A|\Psi\rangle$y una desviación estándar$\Delta A=\sqrt{\langle \Psi|\left(A^2-\langle \Psi|A|\Psi\rangle^2\right)|\Psi\rangle}$. Y sus valores propios de B provienen de una distribución de probabilidad que a menudo tiene una media$\langle B\rangle=\langle \Psi|B|\Psi\rangle$y una desviación estándar$\Delta B=\sqrt{\langle \Psi|\left(B^2-\langle \Psi|B|\Psi\rangle^2\right)|\Psi\rangle}$. Nunca los obtiene de una medición, o incluso de un grupo completo, pero de los pasos 4a y 4b obtiene una media de muestra y una desviación estándar de muestra, y para una muestra grande es probable que estén muy cerca de la media teórica y la desviación estándar teórica.

El principio de incertidumbre dice eso en el paso 1 (cuando seleccionó$\Psi$) puede seleccionar un$\Psi$que da un pequeño$\Delta A$, o un$\Psi$que da un pequeño$\Delta B$(de hecho si$\Psi$es un estado propio de A entonces$\Delta A=0$, igual por$B$). Sin embargo,

Entonces, en particular, los operadores que no viajan diariamente (es decir, si el valor esperado de su conmutador no desaparece) tienen una compensación, si el estado en cuestión tiene una desviación estándar muy baja para un operador, entonces el estado en cuestión debe tener una desviación estándar más alta para el operador. otro.

Si los operadores conmutan, no solo no hay un límite conjunto de cuán bajas pueden ser las desviaciones estándar, sino que medir la otra variable lo mantiene en el mismo espacio propio del otro operador. Sin embargo, ese es un hecho completamente diferente ya que el principio de incertidumbre se trata de las desviaciones estándar de dos distribuciones de probabilidad para dos observables aplicadas a un mismo estado y, por lo tanto, se aplica aproximadamente a las desviaciones estándar de muestra generadas a partir de estados preparados de manera idéntica.

Si tiene un sistema preparado en estado$\Psi$y mide A en él, entonces generalmente tiene que usar un sistema diferente también preparado en$\Psi$para medir B. Eso es porque cuando mide A en un sistema, proyecta el estado en un espacio propio de A, que generalmente cambia el estado. Y dado que la distribución de probabilidad de B se basa en el estado, ahora que tiene un estado diferente, tendrá una distribución de probabilidad diferente para B. No puede averiguarlo.$\Delta B=\sqrt{\langle \Psi|\left(B^2-\langle \Psi|B|\Psi\rangle^2\right)|\Psi\rangle}$si no tienes$\Psi$y solo tengo$\Psi$proyectado sobre un espacio propio de A.

Uno de los principales problemas del principio de incertidumbre tal y como se suele contar en la mecánica cuántica es que siempre se cuenta en el contexto histórico, expresando lo que Heisenberg o Feynman pensaban al respecto. Por una vez (al menos), esto no es muy inteligente.

En la literatura actual, distinguimos diferentes tipos de "relaciones de incertidumbre", en función de a qué se refieren realmente. El primer conjunto de relaciones de incertidumbre se refiere a la preparación del estado . Recuerde que puede ver un estado como una versión abstracta de un procedimiento de preparación experimental. No es un fotón en particular, pero en realidad describe cómo producir fotones con propiedades particulares. En lenguajes de programación objetivos, un "estado" sería lo mismo que una clase, no una instancia de una clase. Si no le gusta esta visión particular de un estado [esto es parte de lo que se podría llamar la escuela de Ludwig ], también puede decir que un estado es el estado bien definido para un conjunto. Todo esto debería ser equivalente.

En cualquier caso, el estado describe las propiedades de este conjunto/procedimiento de preparación y una relación de incertidumbre para la preparación del estado nos dice algo al respecto. La relación de incertidumbre habitual de Robertson-Schrödinger, de la cual la relación de Heisenberg no es más que un caso especial, son tales relaciones de incertidumbre de preparación de estado. Las relaciones se expresan como valores esperados y varianzas, pero en realidad no abarcan ninguna medida. Por lo tanto, se trata de preparación estatal.

Entonces, ¿qué nos dice la incertidumbre de Heisenberg? Dado un estado, si creo instancias de este estado y mido su momento, esto me dará una distribución. En lugar de medir su impulso, también puedo medir su posición y esto me dará otra distribución. Podría, por ejemplo, producir un flujo de instancias de este estado (o un conjunto) y medir la mitad de ellos para el momento y la otra mitad para la posición, entonces la dispersión de esta distribución está limitada por$\hbar/2$. La belleza de la relación de incertidumbre de Heisenberg es que esta afirmación es cierta independientemente de cómo prepare mi estado. No existe un procedimiento de preparación experimental tal que la dispersión de la cantidad de movimiento multiplicada por la dispersión de la posición no esté limitada por$\hbar/2$.

El otro tipo de relación de incertidumbre se refiere a las mediciones . También se les llama "relaciones error-perturbación", porque intentan cuantificar el tan citado "si mides un estado, necesariamente lo perturbas".

Aquí, debe considerar las medidas y debe definir qué significa medir la misma instancia de un estado primero con un observable, luego con otro. Aquí tendría que definirse la "medición simultánea", pero nada de esto es necesario para el principio de incertidumbre habitual de Heisenberg. Hay una gran literatura sobre las relaciones error-perturbación y mucha discusión activa, para citar solo dos, podría echar un vistazo a Ozawa o Busch, Lahti, Werner para dos puntos de vista opuestos.

No puedes conseguir ambos$\langle \psi \rvert A \lvert \psi \rangle$ y $\langle \psi \rvert B \lvert \psi \rangle$si solo tienes un estado$\lvert \psi \rangle$, o si siempre mides$A$sobre sus estados.

Lo que debe hacer para verificar experimentalmente el principio de incertidumbre es preparar un conjunto de estados idénticos y luego medir$A$en la mitad y$B$en la otra mitad.