¿Por qué la fase recogida durante el intercambio de partículas idénticas es una invariante topológica?

La fase recogida durante el intercambio de partículas idénticas en realidad no es una invariante topológica. Proviene de la contribución combinada de muchos factores diferentes:

1. La fase dinámica estándar$\sim e^{-i E t}$resultante de la evolución temporal de Schrödinger y el hecho de que el intercambio toma una cantidad de tiempo positiva

2. La fase de Berry, que no depende de la duración del intercambio pero sí de su trayectoria geométrica específica (no meramente topológica)

3. La transformación de base propia de energía instantánea (en el caso no abeliano)

4. Efectos diabáticos derivados del hecho de que el proceso de intercambio no es infinitamente lento

5. Efectos térmicos si el sistema está a temperatura finita

6. Efectos de interacción de tamaño finito por el hecho de que los aniones no están infinitamente separados

Estos diversos factores no siempre se separan claramente, pero en términos generales, los efectos combinados de la segunda y tercera contribución solo dependen de la topología de la trenza. Para una fase topológica con huecos, los dos últimos son exponencialmente pequeños en los regímenes apropiados, pero siempre están ahí. Pero para cualquier sistema físico, en realidad solo hay una ventana de tiempos de intercambio, que está limitada en ambosdirecciones, en las que domina la fase topológica. Si el intercambio es demasiado rápido, los errores diabáticos estropean las cosas, pero si es demasiado lento, los errores de tamaño finito estropean las cosas. En la práctica, el problema anterior es más problemático, porque los errores diabáticos generalmente solo se suprimen algebraicamente, mientras que los errores de tamaño finito se suprimen exponencialmente. Algunos de estos cambios de fase, particularmente el dinámico, pueden (con suerte) ser ignorados, porque son los mismos para todos los que participan en la trenza, y solo las diferencias de fase son físicamente relevantes.

Para los anyons abelianos, la fase topológica es básicamente solo una fase de Aharanov-Bohm que la partícula adquiere ( además de una fase dinámica ordinaria) a partir del flujo magnético circular, como usted dice. La diferencia clave con la configuración normal de Aharanov-Bohm es que el flujo está muy estrechamente localizado alrededor del otro anyon. Entonces, básicamente, si el otro anyon está en el bucle, entonces el anyon en movimiento rodea todoel flujo y recoge la fase de intercambio completa, y si está fuera del circuito, entonces no rodea ningún flujo. En realidad, para un sistema con una longitud de correlación finita, los aniones no están perfectamente localizados y algo de flujo se filtrará dentro o fuera del bucle, pero dado que el campo magnético efectivo alrededor de un anión decae exponencialmente en una fase separada, podemos despreciar este efecto. si los anyones permanecen separados mucho más que la longitud de correlación. Parte de la razón por la cual la importancia de las contribuciones no topológicas a las fases de anyon no se aprecia completamente es que la mayoría de las personas desarrollan su intuición en el código tórico, que es altamente no genérico porque tiene una longitud de correlación cero, por lo que anyons son " bien separados" incluso en sitios reticulares adyacentes.

Véase la introducción a este artículo para una discusión de estas diversas sutilezas.

En la práctica, los teóricos suelen barrer todas estas sutilezas debajo de la alfombra y solo se centran en la fase topológica, aunque en realidad las demás contribuciones siempre están ahí. Por ejemplo, las teorías cuánticas topológicas de campos solo pueden capturar la física de las contribuciones topológicas de fase, por lo que cualquier resultado derivado de ese formalismo necesariamente no podrá describir los otros efectos en un sistema real.

Creo que se puede encontrar una respuesta en este gran artículo. Escribiré el argumento tal como lo entiendo.

Considere 2 partículas idénticas en 3D. El espacio de configuración es$C=(\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3)/\mathbb{Z}_2$, donde cocientemos por$\mathbb{Z}_2$ya que las partículas son idénticas. Al ir a coordenadas relativas,$C=\mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}_2)$, dónde$\mathbb{R}^3$está asociado con el centro de masa, y donde el segundo es el espacio de coordenadas relativas$x\in \mathbb{R}^3$que se identifican con$-x$. Esto da un punto singular en$x=0$, y lo retiramos (mantenemos las partículas separadas). Por lo tanto, la parte relativa es$(\mathbb{R}^3-{0})/\mathbb{Z}_2=]0,\infty[\times (S^2/\mathbb{Z}_2)$.

Primero enfócate en la parte$S^2/\mathbb{Z}_2$. Como mencioné anteriormente en la pregunta, los bucles cerrados en este espacio se dividen en dos clases. Si pensamos en la esfera$S^2$antes de identificar los puntos antípodas, estas clases son clases de caminos que 1. comienzan y terminan en el mismo punto 2. comienzan y terminan en puntos antípodas.

Los caminos en la clase 1 , vistos en el espacio total$(\mathbb{R}^3-{0})/\mathbb{Z}_2$, no rodee el punto eliminado en 0 (o puede deformarse continuamente en una ruta que no lo haga). Los caminos en la clase 2 rodean el origen una vez (o pueden deformarse continuamente a un camino que lo rodee una vez).

El argumento real ahora se puede hacer utilizando el transporte paralelo de vectores a lo largo de bucles cerrados en el espacio de configuración. Para cada$x$definimos un espacio de Hilbert$h_x$tal que$\Psi(x)\in h_x$es el valor de la función de onda en$x$. Así pensamos en$\Psi(x)$como vector que haremos de transporte paralelo. Definición de una base$\chi_x$por$h_x$, podemos escribir$\Psi(x)=\psi(x)\chi_x$. Tenemos una opción de base, que es una libertad de medida.

Luego definimos un operador unitario lineal$P(x',x) : h_x \to h_{x'}$que transporta en paralelo vectores de$h_x$a vectores de$h_{x'}$. Se supone que toma la forma$P(x+dx,x)\chi_x = (1+i dx^k b_k (x) ) \chi_{x+dx}$para un desplazamiento paralelo infinitesimal. los$b_k$son funciones análogas al vector potencial$A_\mu$, y defina la diferenciación invariante de calibre$D_k = \partial_k -i b_k (x)$.

A su vez, esto define un tensor de "curvatura"$f_{kl} = i [D_k ,D_l]$análogo a$F_{\mu \nu}$en ME o$R_{\mu \nu}$en GR. La idea, creo, es que el transporte paralelo es trivial a lo largo de caminos que no encierran curvatura, pero que puede tener un efecto si la región encerrada es curva. En nuestro caso,$f_{kl}$se elige cero para todos los puntos en el espacio de configuración, pero no está definido para el punto excluido en el origen.

Supongamos que consideramos un camino que no rodea el origen. En ese caso, la "curvatura" encerrada es cero, y tenemos$P(x,x)\equiv P(x) = 1$. Esto es válido para cualquier ruta que no rodee el origen: la deformación continua de una ruta conservará esta propiedad. Si consideramos un camino que rodea el origen una vez, escribimos$P(x) = \exp[i\zeta]$, ya que$h_x$es unidimensional. Nuevamente, si deformamos continuamente dicho camino, no podemos cambiar la "curvatura" encerrada, por lo que la fase será la misma para todos esos caminos.

Luego, un camino correspondiente a un "doble intercambio" produce$P(x) = \exp[2i\zeta]$. Ahora lo deformamos continuamente de vuelta al camino trivial, lo cual podemos hacer sin pasar por el origen. La "curvatura" encerrada para la ruta de "doble intercambio" es, por lo tanto, la misma que la de la ruta trivial, es decir, cero (debería haber una forma más agradable de ver esto). Dado que para todos esos caminos$P(x)=1$, tenemos$\exp[2i\zeta]=1$.

Si consideramos el caso 2D, obtendríamos infinitas clases de caminos, ya que el espacio de configuración sería$\mathbb{R}^2 \times (]0,\infty[\times S^1/\mathbb{Z}_2)$. Sin embargo, la misma idea debería aplicarse.