¿Por qué una onda se puede expresar con una función seno?

Para entender de una manera sencilla, la forma en que las ondas que estás considerando se comportan de manera similar a las funciones de una onda sinusoidal.

Tienen propiedades similares a ellas, por lo que las ondas seno y coseno son las funciones periódicas más fáciles de representar. No es que exactamente esa forma se aplique a las ondas. No es una obligación que las ondas se representen solo en forma de curvas sinusoidales. Hay muchas ondas que no tienen esa forma, especialmente las ondas triangulares y las ondas rectangulares. Pero, esta función periódica hace que la representación sea mucho más fácil.

Es mucho más fácil entender las propiedades de las ondas cuando usamos gráficos de seno y coseno para describirlas.

Ellos representan de cerca estas ondas en su propagación.

Todas las ondas se pueden representar mediante una función periódica y cualquier forma repetida representa una función periódica. La mayoría de las funciones periódicas, tanto en el mundo real como en la teoría, son bastante complicadas, al menos matemáticamente.

Si queremos hacer matemáticas con las ondas de las que estamos hablando, tendremos que controlar estas funciones periódicas. Lo que realmente ayudaría es una forma de simplificarlos. El análisis de Fourier nos permite hacer exactamente eso. Podemos tomar una función periódica complicada con algunas matemáticas realmente molestas y dividirla en funciones periódicas más simples donde las matemáticas son mucho más fáciles.

Si tuviera que usar el$tan$función para esta representación específica, entonces, dado que sabe que el gráfico tan es discontinuo en muchos puntos, no puede representar una onda ... y, por lo tanto, la representación del seno y el coseno se acerca lo suficiente para esta representación.

Las funciones periódicas más simples son el seno y el coseno. Son prácticamente lo mismo y están estrechamente relacionados.

Teoría de Fourier: cualquier función

Pero, ¿garantiza esto que las expresiones que muestran el movimiento de las ondas pueden ser función seno o coseno? ¿Es esto sólo una especie de aproximación?

Se trata de modelar datos. Cualquier función periódica se puede modelar con senos utilizando la serie de expansión de Fourier, por lo que, en este sentido, si no es una onda sinusoidal pura, se puede ajustar la onda física con una aproximación de sumas de senos.

Incluso se pueden ajustar paquetes de ondas:
$\hspace{50px}$.

Una de las formas más sencillas de obtener ondas es tener una situación en la que la fuerza sea proporcional a la ubicación:$F=kx$para algunos$k$. Dado que la fuerza es masa por aceleración, y la aceleración es la segunda derivada, el caso de una variable da$x'' = \frac{k}{m}x$. Si$k$es negativo, entonces$x = \sin{\left(\sqrt{\frac {-k} m}t\right)}$es una solución Las ecuaciones de onda más complicadas pueden tener otras soluciones, pero este es el caso base. Además, las aplicaciones de la ecuación de onda a menudo permiten superposiciones de ondas, en cuyo caso el movimiento es la suma de múltiples funciones sinusoidales, y la función completa puede no parecer una onda sinusoidal.

Una de las razones por las que las ondas sinusoidales aparecen en la naturaleza es que en muchos sistemas físicos podemos expresar una onda general como una superposición de senos y cosenos de todas las frecuencias, pero diferentes frecuencias viajan a diferentes velocidades. Esto significa que incluso para una fuente desordenada de ondas, que inicialmente no se parece en nada a una onda sinusoidal, los observadores lejanos, en un momento dado, solo verán una frecuencia, y esta se verá como una onda sinusoidal pura.

Podemos justificar la superposición de ondas y el tratamiento de diferentes frecuencias de forma independiente (una aproximación lineal ), cuando las ondas aparecen como pequeñas fluctuaciones en torno a una situación de equilibrio. Por ejemplo, un océano plano está en equilibrio y pequeñas perturbaciones en la superficie se propagan como ondas a medida que la gravedad actúa para restablecer el equilibrio. Matemáticamente, las ondas seno y coseno aparecen como los bloques de construcción naturales de esta aproximación linealizada porque tienen un comportamiento simple bajo diferenciación: la pendiente de un seno es un coseno y viceversa.

El modelo específico de la física nos dice entonces, para cualquier longitud de onda dada (o número de onda$k$), la frecuencia$\omega(k)$(Dependiendo de$k$) en el que oscilan/se propagan. Esta es la relación de dispersión para el sistema en cuestión. Por ejemplo:

La velocidad a la que se propaga una frecuencia determinada viene dada por la velocidad de grupo $c_g=\frac{d\omega}{dk}$, que para los ejemplos anteriores es proporcional a$\frac{1}{\sqrt{k}}$,$k^0$(constante), y$\sqrt{k}$respectivamente. Esto muestra tres comportamientos cualitativamente diferentes: longitudes de onda más largas (menor$k$) van más rápido, todas las longitudes de onda viajan a la misma velocidad, o las longitudes de onda más cortas van más rápido.

Cualquier surfista podrá decirte que cuando hay una tormenta en el océano y llega nuevo oleaje a la playa, las primeras olas que llegan son siempre las de período más grande, la longitud de onda más larga, y luego, a medida que pasan las horas y los días, se vuelven período progresivamente más corto! La razón por la que hay un período bien definido y parecen ondas sinusoidales (al menos hasta que se acercan demasiado a la playa y el fondo marino empieza a interferir), es precisamente este fenómeno de dispersión. Si hace pequeñas ondas en un estanque/bañera con el dedo, es posible que pueda ver el fenómeno opuesto donde las longitudes de onda más cortas se propagan más rápido.

El sonido no tiene esta dispersión, ya que todas las longitudes de onda se mueven a la misma velocidad. Si reproduce una breve ráfaga de ruido blanco en un altavoz, sin una frecuencia bien definida, escuchará ruido blanco, incluso a lo lejos, porque las frecuencias de los diferentes componentes no se separarán. ¡Las ondas de sonido nunca se parecerán en nada a las ondas sinusoidales!

En cualquier caso, si haces un chapoteo, la superficie del agua estará desordenada al principio, pero las olas que se extienden se verán como lindas ondas sinusoidales limpias con picos y valles bien definidos, porque todos los componentes de la mezcla original -Mash de longitudes de onda viajan a diferentes velocidades y se separan unos de otros.

La onda viajera puede tener cualquier forma continua y diferenciable, como se puede demostrar comprobando que la función general$f\left(x-ct\right)$satisface la ecuación de onda (al igual que la que se mueve en dirección opuesta).

Las soluciones de seno y coseno son útiles simplemente porque se puede construir una onda de cualquier forma sumando un conjunto apropiado de ellas, como en la serie/integral de Fourier.

Suponer$f(x)$es un periodo-$2\pi$función. ¿Por qué sería expresable en términos de sólo el$e^{ikx}=\cos kx+i\sin kx$con$k\in\mathbb{Z}$? Bien, defina la transformada de Fourier.$\tilde{f}(k):=\int_\mathbb{R}f(x)e^{ikx} dx$asi que

No existe una regla de que las ondas tengan que ser de naturaleza sinusoidal. Algunas ondas muestran diferentes formas de onda, y toneladas de ondas ni siquiera son continuas y, por lo tanto, no se describen mediante funciones sinusoidales.

Pero es útil modelar la mayoría de las ondas continuas de esta manera porque las funciones trigonométricas son las funciones periódicas más fáciles (las más fáciles de usar).

Un ejemplo simple para probar esto es una forma de onda cuadrada. No es común en la mecánica, pero juega un papel importante en los circuitos de computación. la ecuacion es$A\times sign(\sin\omega t)$, donde el$sign$la función se explica por sí misma*. No hay nada 'sinusoidal' en la ola, pero aún vemos$\sin$. Esto es útil porque la función seno alternará periódicamente entre valores positivos y negativos.

Podemos usar funciones trigonométricas para modelar una gran cantidad de otras curvas. Por ejemplo, las ondas triangulares se dibujan con una serie infinita de Fourier:$\sum_{i=0}^N(-1)^in^{-2}\sin([nt])$No hay necesidad de examinar críticamente esta ecuación, pero lo importante es que como$N$se hace más grande, la ecuación es una mejor aproximación, que es algo en lo que se centró la pregunta. Usando expresiones trigonométricas, podemos aplicar transformadas de Fourier similares para aproximar casi cualquier forma de onda.

* Para crear el$sign(a)$función matemática, intente$\frac{|(a)|}{a}$. Si$a$es positivo,$|a|=a$, y$sign(a)=1$.

Esta es una interpretación ligeramente diferente de la pregunta...

Las ondas realmente se parecen a las formas de una función seno o coseno, pero ¿garantiza esto que las expresiones que muestran un movimiento ondulatorio son funciones seno o coseno o es solo una aproximación?

Estas no son siempre aproximaciones. Muchas ondas en realidad siguen un gráfico de seno, por lo que podemos demostrar que el movimiento sinusoidal es algo real en la naturaleza.

El ejemplo más fácil para probar esto es un péndulo en movimiento armónico simple:
$\hspace{175px}$.

Puedes encontrar fácilmente una derivación de la ecuación correspondiente$x=A\sin(\omega t)$en línea. Pero lo importante es que descomponemos la fuerza gravitatoria en sus componentes, usando trigonometría, para obtener$F=mg\times \sin(\omega t)$. Esto es directamente proporcional al desplazamiento negativo, por lo tanto, el desplazamiento en SHM realmente muestra un movimiento sinusoidal, no se necesita aproximación.

Varias formas de onda, incluidas las de ondas estacionarias, se desarrollan a través de la manipulación de esta fórmula, pero para algunas cosas, necesitamos aproximar varias ondas sinusoidales usando transformadas de Fourier; otras respuestas explican esa idea.