Interpretación del operador de Laplace

El Laplaciano mide lo que podríamos llamar la «curvatura» o tensión del campo. Le dice cuánto difiere el valor del campo de su valor promedio tomado sobre los puntos circundantes. Esto se debe a que es la divergencia del gradiente... te dice cuánto difiere la tasa de cambios del campo del tipo de variación constante que esperas en un flujo sin divergencia.

Mire una dimensión: el laplaciano simplemente es$\partial^2\over\partial x^2$, es decir, la curvatura. Cuando este es cero, la función es lineal por lo que su valor en el centro de cualquier intervalo es el promedio de los extremos. En tres dimensiones, si el laplaciano es cero, la función es armónica y satisface el principio del promedio. Consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function#The_mean_value_property . Si no, el laplaciano mide su desviación de esto.

José F. johnson ya dio una motivación para el caso unidimensional.

Creo que la ecuación de difusión del ejemplo físico

es la mejor manera de ilustrarlo:

_{(fuente: pveducation.org )}

Si la función parece$x^2$(curvatura positiva), como izquierda y derecha, luego en el siguiente paso de tiempo la función$n(x)$crecerá allí. Si la función parece$-x^2$(curvatura negativa), como en el medio, luego en el siguiente paso de tiempo la función$n(x)$declinará

Con respecto a tu pregunta en el comentario, tienes razón en cierto modo. Si mira aquí en la segunda sección titulada "Armónicos esféricos de Laplace",

http://desmond.imageshack.us/Himg542/scaled.php?server=542&filename=unbenannt2sq.png&res=medium

entonces ves que para este tipo común de función, los grados de libertad radial y rotacional en 3D son en realidad de modo que su curvatura es constante $\lambda$respectivamente, pero juntos satisfacen$\Delta f=0$.

Para comprender mejor el concepto de "curvatura de función", puede echar un vistazo al cálculo de variaciones. Allí, en lugar del laplaciano en$-\phi\Delta\phi$, es posible que desee pensar en la expresión explícitamente cuadrática$\nabla\phi\nabla\phi$. De manera análoga a cómo se suman sobre las curvaturas en la acción de Einstein Hilbert , se suman sobre esta expresión en el formalismo de Lagrange para campos o funciones .

Además, quiero decir que si ya entiendes el gradiente y la divergencia, entonces tiene sentido pensar en el laplaciano.$\Delta=\nabla^2$como la divergencia del gradiente. Además, la casi solución, es decir, la función Greens que comentó en el comentario, apunta en esta dirección. Para la interpretación física de estos, en ecuaciones que involucran al Laplaciano y para operadores elípticos en general, primero puede pensar en la ecuación de Poisson completa en electrostática

dónde$\phi(\vec x)$es el potencial eléctrico. Aquí$\rho(\vec x)$es la densidad de carga, que se puede considerar como compuesta de cargas puntuales localizadas en posiciones$\vec y$con densidades descritas por$\delta(\vec x-\vec y)$. Este pensamiento puede ser representado algo tautológicamente por

Ahora, por el principio de superposición , que se cumple para las ecuaciones de Mawell (o matemáticamente por el hecho de que su operador diferencial es lineal), si conoce el potencial$G(\vec x)$de una partícula puntual

ya conoces la solución al problema completo. Con

que se asemeja a la suma de todos los potenciales puntuales, encuentra que las ecuaciones de Poisson se resuelven:

Ahora, ¿cuál es el potencial de la partícula puntual? En este punto es útil pensar en$\nabla^2$como la divergencia del gradiente

El gradiente del potencial es el campo eléctrico, que es proporcional a la fuerza impuesta sobre otras cargas puntuales. Ahora, ¿cuál es el campo de fuerza de partículas puntuales que tiene divergencia cero pero es singular para$\vec x =0$? En tres dimensiones, el área de la superficie$A$de una esfera va como$A\propto r^2$, por lo que si la divergencia debe ser cero, la solución radial debe ser como$\frac 1 {r^2}$, que es simplemente la ley de Coulomb . Integrando el gradiente restante, encontramos

Muy a menudo piensas en ese pico delta como una fuente de perturbación de algún campo. El operador diferencial proviene de alguna densidad lagrangiana que codifica las leyes de conservación y la función de Green asociada describe cómo la información se propaga lejos de la fuente. El campo decae espacialmente y (en contraste con la ecuación de Poisson con una densidad de cambio$\rho(\vec x)$) la ecuación de Laplace restante$\nabla^2\phi(\vec x)=0$describe la libre dispersión/propagación del potencial/onda. Entonces, en los puntos de origen, hay cierta interacción y el campo se perturba y luego la información se aleja de allí. En este punto, donde no tiene lugar ninguna interacción, el campo cumple la ecuación libre que solicitaste. Con este espíritu, te recomiendo que envuelvas tu cerebro en lo que ahora, dependiente del tiempo, la solución de la ecuación de ondas hace en el espacio-tiempo. Entonces aún puede establecer$\rho$independiente de$t$y volver a la ecuación de Poisson.

Como nota al margen, todo este asunto de la propagación es un tema principal en las Teorías de Campo (o 'sus aplicaciones' como el procesamiento de señales), donde los Operadores involucran derivadas de tiempo. En las teorías cuánticas, estas son "solo" ondas de probabilidad. Básicamente, si conoce sus propagadores libres y cómo unirlos usando diagramas de Feynman , tiene toda la teoría. Un ejemplo gráfico y, por lo tanto, ilustrativo, es la función de Green de la ecuación del calor , donde puedes ver literalmente cómo se disuelve la densidad.

Nada realmente nuevo que agregar a las dos excelentes respuestas que ya se dieron, solo un ejemplo particular que me ayudó.

Cuando examina la versión en diferencias finitas de la ecuación de Laplace en 2 dimensiones, encuentra que la discretizada$\phi$satisface la ecuación de Laplace si, en esta imagen de parte de la cuadrícula,$\phi_{i,j}$en el centro es el promedio de los 4 valores circundantes, es decir

Entonces la cantidad por la cual$\nabla^2\phi$no llega a cero es la cantidad por la cual el valor en el centro difiere del promedio de los valores circundantes.

Como dije, nada nuevo, pero este fue el ejemplo concreto en el que pensé por primera vez: ¡ajá, eso es lo que significa el laplaciano!

... ver el operador de Laplace como divergencia de gradiente me da una interpretación de "fuentes de gradiente" que, para ser honesto, no tiene sentido para mí ... interpretar [ing the] Laplacian en ciertas situaciones físicas ... podría ser un buen lugar para empezar... busco una interpretación que sea tan universal como los gradientes... aplicables, correctas y comprensibles en cualquier campo escalar.

Aquí hay un enfoque diferente: deje de pensar en el campo potencial como la representación más fundamental.

En su lugar, asuma que al menos para algún rango de situaciones físicamente interesantes y no triviales, son los campos vectoriales los que están más cerca de la realidad física subyacente. Una forma simple de lograr esto es asumir dos cosas: (1) los campos vectoriales siempre representan flujos literales de "algo" a través de puntos en el espacio, y (2) ese "algo" es incompresible y conservado (por ejemplo, agua) como se mueve por el espacio.

La segunda restricción es importante porque asegura que un campo de potencial escalar autoconsistente pueda definirse como el campo de velocidades (magnitudes de velocidad) del fluido en cada punto del espacio. Este campo potencial es útil porque es muy simple (escalar), pero también captura todas esas suposiciones de propiedades no triviales en un solo paquete.

El ejemplo más fácil de por qué podría decidir tomar los campos vectoriales como más fundamentales es la hidrodinámica, ya que en ese caso el campo vectorial representa flujos bastante literales de una sustancia física real.

Sin embargo, también funciona bien, posiblemente incluso mejor, para la electrodinámica, lo que puede sorprender a cualquiera que esté acostumbrado solo al enfoque de potencial primero. El primer modelo de flujo de Maxwell asumía un flujo literal o flujo de "algo" (no carga) de "+" a "-" (o viceversa). Además, supuso que este "algo" podía aparecer y desaparecer mágicamente del espacio ordinario cuando emergía de una carga y alcanzaba la otra. Maxwell era perfectamente consciente de lo extraño que sonaba, pero no era su punto, ya que era el flujo lo que permitía calcular con precisión las cosas interesantes.

Entonces, volviendo a su pregunta: ¿Cuál es la "fuente de un gradiente" y cómo tiene sentido?

En el modelo fluido o de flujo primero, eso es fácil: el gradiente es el flujo, representado por el momento por una función del campo potencial menos real pero matemáticamente útil. Por lo tanto, el laplaciano simplemente significa la "fuente del flujo", un concepto bastante literal, eso.

En cuanto a la aplicabilidad a cualquier campo escalar, debo señalar que hay muchos casos en los que la interpretación de flujo primero claramente no es la más física. ¡Un campo escalar que muestra las densidades de una impureza dentro de un sólido ciertamente no es un campo de flujo, por ejemplo! (Aunque incluso allí, es probable que sea el registro de un campo de flujo anterior, ya que los gradientes suaves no emergen de procesos de implantación de impurezas totalmente aleatorios).

Pero incluso cuando digo eso, esto es lo que he notado que es sorprendente: para las situaciones en las que el laplaciano es interesante y útil, el modelo de flujo primero parece aplicarse, al menos en los casos más interesantes. Eso no es sorprendente, en realidad, ya que el laplaciano dice más o menos eso: "Esta región es interesante porque parece que 'algo' está fluyendo fuera o dentro de ella..."

En cualquier caso, puedo decir honestamente que encontré este modelo personalmente útil para tratar de visualizar problemas en temas como la teoría cuántica, la hidrodinámica y el electromagnetismo, lo suficiente como para buscar activamente cómo el modelo intrínsecamente dinámico de flujo primero podría proporcionar una mejor comprensión de los procesos descritos nominalmente por el concepto mucho más estático del gradiente de un campo de potencial escalar.

¡Me encontré con esta pregunta durante mi investigación hoy! Permítanme compartir con ustedes mi comprensión del problema con un ejemplo.

En primer lugar, el operador laplaciano es la aplicación de la operación de divergencia sobre el gradiente de una cantidad escalar.

Supongamos que aplicamos el operador laplaciano a una cantidad escalar física y tangible como la presión del agua (análoga al potencial eléctrico).

Puede pensar en el gradiente de la presión del agua como una dirección de agua constante en el tiempo causada por el contacto directo con otras moléculas como un campo de flechas de dirección (un análogo poco convincente para el campo eléctrico (no existe una buena analogía)) .

Entonces, la divergencia del gradiente de la presión del agua es lo mismo que la divergencia del campo de las flechas de dirección de la corriente del agua. Si este campo tiene divergencia cero (es decir, la ecuación de Laplace), entonces la corriente no converge (comprime) ni diverge (expande) (es decir, el agua mantiene una densidad constante)

En este contexto, la ecuación de Laplace coincide perfectamente con los fluidos incompresibles (el agua es un buen ejemplo).

PD No me preocupé por el signo de las ecuaciones.

Una aplicación práctica del Laplaciano se puede encontrar en el análisis de la densidad electrónica " Átomos en Moléculas ". La densidad electrónica de una molécula es un campo escalar, y su tipo laplaciano da las regiones donde los electrones se concentran o agotan localmente (la densidad en sí misma generalmente no tiene mínimos y máximos solo en los núcleos).