Estados propios de un operador de campo bosónico

Aunque las preguntas relacionadas se discuten aquí y aquí , todavía estoy confundido acerca de los estados propios del operador de campo de un campo bosónico.

$$\hat{\phi}(\vec{x},t=0)|\phi\rangle=\phi(\vec{x})|\phi\rangle$$ ¿Significa esto que todos los estados de la QFT están relacionados con una configuración de campo en el espacio? Se dice que los estados cumplen la relación de completitud $$\int d\phi(\vec{x})\,|\phi\rangle\langle\phi|=1.$$ ¿La medida aquí significa que integramos sobre todas las configuraciones de campo? ¿O significa que integramos sobre todos los valores que un campo puede tomar en la posición $\vec{x}$? Debe ser el primer caso ya que un estado no puede especificarse ya solo por el valor propio con respecto al operador de campo en un punto, ¿verdad? Esto estaría de acuerdo con $$\langle\phi_a|\phi_b\rangle=\prod_\vec{x}\delta(\phi_a(\vec{x})-\phi_b(\vec{x})).$$ Entonces, ¿no debería uno preferir escribir $$\prod_\vec{x}\int d\phi(\vec{x})\,|\phi\rangle\langle\phi|=1.$$

¿Cómo se tomaría el rastro de un operador?

$$\text{tr}\,\hat{\mathcal{O}}=\int d\phi(\vec{x}) \langle\phi|\mathcal{O}|\phi\rangle$$ o $$\text{tr}\,\hat{\mathcal{O}}=\prod_\vec{x}\int d\phi(\vec{x}) \langle\phi|\mathcal{O}|\phi\rangle$$ o incluso algo diferente?

Las fórmulas que utilicé son de Kapusta "Principios y aplicaciones de la teoría del campo de temperatura finita", p. 12+13.